Question

如圖，已知在矩形ABCD中，E是AD上的一點，F(xiàn)是AB上的一點，EF⊥EC，且EF=EC，DE=3cm，BC=7cm．
（1）求證：△AEF≌△DCE；
（2）請你求出EF的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)矩形的四個角都是直角，可以證明∠ECD+∠CED=90°，再根據(jù)EF⊥EC可以證明∠AEF+∠CED=90°，從而得到∠ECD=∠AEF，然后利用角角邊定理即可證明；
（2）先求出AE=4cm，再根據(jù)全等三角形的對應邊相等可得AF=DE，然后利用勾股定理列式進行計算即可求解．

解答：（1）證明：在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∴∠ECD+∠CED=90°，
∵EF⊥EC，
∴∠AEF+∠CED=90°，
∴∠ECD=∠AEF，
在△AEF與△DCE中，

∠ECD=∠AEF ∠A=∠D=90° EF=EC

，
∴△AEF≌△DCE（AAS）；

（2）解：∵△AEF≌△DCE，
∴AF=DE，
∵DE=3cm，BC=7cm，
∴AF=3cm，AE=AD-DE=BC-DE=7-3=4cm，
在Rt△AEF中，EF=

AE2+AF2

=

42+32

=5．
故答案為：5．

點評：本題考查了矩形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關鍵．