Question

如圖，已知平面坐標系中，A（-1，5），B（2，0），C（-3，-1）．
（1）求出△ABC的面積；
（2）寫出A、B、C三點關于y=3的直線對稱點A₁、B₁、C₁的坐標；
（3）在y軸上找一點P，使PA+PC最短，求出P點坐標．

Answer 1

分析：（1）設直線AC的解析式是y=kx+b，把A（-1，5），C（-3，-1）代入得到方程組，求出方程組的解，求出直線與X軸的交點坐標，根據(jù)三角形的面積求出即可；
（2）根據(jù)軸對稱的性質求出即可；
（3）求出A關于Y軸的對稱點M的坐標，連接CM交Y軸于P，求出直線MC的解析式，求出與Y軸的交點即可．

解答：解：（1）設直線AC的解析式是y=kx+b，
把A（-1，5），C（-3，-1）代入得：

5=-k+b -1=-3k+b

，
解得：k=3，b=8，
∴y=3x+8，
把y=0時，0=3x+8，
∴x=-

8

3

，
∴D（-

8

3

，0），
∴△ABC的面積是S_△ABD+S_△BCD=

1

2

×（2+

8

3

）×5+

1

2

×（2+

8

3

）×1=14．
答：△ABC的面積是14．

（2）根據(jù)軸對稱的性質得到A₁（-1，1），B₁（2，6），C₁（-3，7）．

（3）作A關于Y軸的對稱點M，連接CM交Y軸于P，則P為所求，
M的坐標是（1，5），
設直線MC的解析式是：y=ax+c，
代入得：

5=a+c -1=-3a+c

，
解得：a=

3

2

，c=

7

2

，
∴y=

3

2

x+

7

2

，
把x=0代入得：y=

7

2

，
∴P（0，

7

2

）．
答：P點坐標是（0，

7

2

）．

點評：本題主要考查對用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形的面積，軸對稱-最短問題，坐標與圖形變化-對稱等知識點的連接和掌握，綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵．