Question

（2013•茂名）如圖，拋物線y=ax2-

1

3

x+2與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）．
（1）求a的值和拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）分別連接AC、BC．在x軸下方的拋物線上求一點(diǎn)M，使△AMC與△ABC的面積相等；
（3）設(shè)N是拋物線對稱軸上的一個動點(diǎn)，d=|AN-CN|．探究：是否存在一點(diǎn)N，使d的值最大？若存在，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)和d的最大值；若不存在，請簡單說明理由．

Answer 1

分析：（1）先把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入y=ax²-

1

3

x+2，可求得a的值，再利用配方法將一般式化為頂點(diǎn)式，即可求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）先由拋物線的解析式y(tǒng)=-

1

9

x²-

1

3

x+2，求出與x軸的交點(diǎn)A的坐標(biāo)，與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)，再由△AMC與△ABC的面積相等，得出這兩個三角形AC邊上的高相等，又由點(diǎn)B與點(diǎn)M都在AC的下方，得出BM∥AC，則點(diǎn)M既在過B點(diǎn)與AC平行的直線上，又在拋物線y=-

1

9

x²-

1

3

x+2上，所以先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=

1

3

x+2，再設(shè)直線BM的解析式為y=

1

3

x+n，將點(diǎn)B（3，0）代入，求出n的值，得到直線BM的解析式為y=

1

3

x-1，然后解方程組

y= 1 3 x-1 y=- 1 9 x2- 1 3 x+2

，即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）連接BC并延長，交拋物線的對稱軸x=-

3

2

于點(diǎn)N，連接AN，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出AN=BN，并且根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理得出此時d=|AN-CN|=|BN-CN|=BC最大．運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，再將x=-

3

2

代入，求出y的值，得到點(diǎn)N的坐標(biāo)，然后利用勾股定理求出d的最大值BC即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²-

1

3

x+2經(jīng)過點(diǎn)B（3，0），
∴9a-

1

3

×3+2=0，
解得a=-

1

9

，
∴y=-

1

9

x²-

1

3

x+2，
∵y=-

1

9

x²-

1

3

x+2=-

1

9

（x²+3x）+2=-

1

9

（x+

3

2

）²+

9

4

，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-

3

2

，

9

4

）；

（2）∵拋物線y=-

1

9

x²-

1

3

x+2的對稱軸為直線x=-

3

2

，
與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6，0）．
又∵當(dāng)x=0時，y=2，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）．
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
則

-6k+b=0 b=2

，解得

k= 1 3 b=2

，
∴直線AC的解析式為y=

1

3

x+2．
∵S_△AMC=S_△ABC，
∴點(diǎn)B與點(diǎn)M到AC的距離相等，
又∵點(diǎn)B與點(diǎn)M都在AC的下方，
∴BM∥AC，
設(shè)直線BM的解析式為y=

1

3

x+n，
將點(diǎn)B（3，0）代入，得

1

3

×3+n=0，
解得n=-1，
∴直線BM的解析式為y=

1

3

x-1．
由

y= 1 3 x-1 y=- 1 9 x2- 1 3 x+2

，解得

x1=-9 y1=-4

，

x2=3 y2=0

，
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)是（-9，-4）；

（3）在拋物線對稱軸上存在一點(diǎn)N，能夠使d=|AN-CN|的值最大．理由如下：
∵拋物線y=-

1

9

x²-

1

3

x+2與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，
∴點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱．
連接BC并延長，交直線x=-

3

2

于點(diǎn)N，連接AN，則AN=BN，此時d=|AN-CN|=|BN-CN|=BC最大．
設(shè)直線BC的解析式為y=mx+t，將B（3，0），C（0，2）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，
得

3m+t=0 t=2

，

m=- 2 3 t=2

，
∴直線BC的解析式為y=-

2

3

x+2，
當(dāng)x=-

3

2

時，y=-

2

3

×（-

3

2

）+2=3，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-

3

2

，3），d的最大值為BC=

32+22

=

13

．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積，軸對稱的性質(zhì)等知識，難度適中．其中第（2）小題根據(jù)三角形的面積公式及平行線的性質(zhì)得出BM∥AC是關(guān)鍵，第（3）小題根據(jù)軸對稱及三角形三邊關(guān)系定理確定點(diǎn)N的位置是關(guān)鍵．