Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）經(jīng)過(guò)A（－1，0），B（3，0），C（0，－3）三點(diǎn)，直線l是拋物線的對(duì)稱(chēng)軸．

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；

(2)設(shè)點(diǎn)M是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M到點(diǎn)A，點(diǎn)C的距離之和最短時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)N，使S⊿ABN=S⊿ABC，若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）y＝x2－2x－3；(2) M(1,-2)；(3) ，（1，-4）.

【解析】

（1）直接將A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中求出待定系數(shù)即可；

（2）由圖知：A、B點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，連接BC得出M點(diǎn)位置，即為符合條件的M點(diǎn)；

（3）根據(jù)題意可知OC=3，要使S⊿ABN=S⊿ABC，則三角形ABN的高為4，即N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為±4，設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x，±4），代入函數(shù)解析式求解即可得出N點(diǎn)的坐標(biāo).

解：（1）將A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）代入拋物線y=ax2+bx+c中，得：

解得：

故拋物線的解析式：y=x2-2x-3．

（2）如圖所示：連接BC，交直線l于點(diǎn)M，此時(shí)點(diǎn)M到點(diǎn)A，點(diǎn)C的距離之和最短，

設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+d，則

解得：

故直線BC的解析式為：y=x-3，
∵x=-=1，
∴x=1時(shí)，y=1-3=-2，
故M（1，-2）；

（3）存在，理由如下：

點(diǎn)C（0，－3），

∴OC=3，即三角形ABC的高為3

要使S⊿ABN=S⊿ABC，則三角形ABN的高為4，即N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為±4，

設(shè)N為（x，±4）

所以當(dāng)y=4時(shí)，有x2-2x-3=4即x2-2x-7=0，解得

當(dāng)y=-4時(shí)，有x2-2x-3=-4即x2-2x+1=0，解得x=1

所以N點(diǎn)的坐標(biāo)為，（1，-4）