Question

如圖，已知直線l的函數(shù)表達(dá)式為y=

3

4

x+3，它與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A、B兩點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)F是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，⊙P經(jīng)過點(diǎn)B且與x軸相切于點(diǎn)F設(shè)⊙P的圓心坐標(biāo)為P（x，y），求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）是否存在這樣的⊙P，既與x軸相切又與直線l相切于點(diǎn)B？若存在，求出圓心P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征易得以A點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）；
（2）過點(diǎn)P作PD⊥y軸于D，則PD=|x|，BD=|3-y|，根據(jù)切線的性質(zhì)得PF=y，則PB=y，在Rt△BDP中，根據(jù)勾股定理得到y(tǒng)²=x²+（3-y）²，然后整理得到y(tǒng)=

1

6

x²+

3

2

；
（3）由于⊙P與x軸相切于點(diǎn)F，且與直線l相切于點(diǎn)B，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到AB=AF，而AB=5，所以AF=|x+4|=5，解得x=1或x=-9，再把x=1和x=-9分別代入y=

1

6

x²+

3

2

計(jì)算出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，即可確定P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=

3

4

x+3=3；
當(dāng)y=0時(shí)，

3

4

x+3=0，解得x=-4，
所以A點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）；

（2）過點(diǎn)P作PD⊥y軸于D，如圖1，則PD=|x|，BD=|3-y|，
∵⊙P經(jīng)過點(diǎn)B且與x軸相切于點(diǎn)F
∴PB=PF=y，
在Rt△BDP中，
∴PB²=PD²+BD²，
∴y²=x²+（3-y）²，
∴y=

1

6

x²+

3

2

；

（3）存在．
∵⊙P與x軸相切于點(diǎn)F，且與直線l相切于點(diǎn)B，
∴AB=AF
∵AB²=OA²+OB²=5²，
∴AF=5，
∵AF=|x+4|，
∴|x+4|=5，
∴x=1或x=-9，
當(dāng)x=1時(shí)，y=

1

6

x²+

3

2

=

1

6

+

3

2

=

5

3

；
當(dāng)x=-9時(shí)，y=

1

6

x²+

3

2

=

1

6

×（-9）²+

3

2

=15，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，

5

3

）或（-9，15）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握切線的性質(zhì)和切線長(zhǎng)定理、一次函數(shù)的性質(zhì)；會(huì)利用坐標(biāo)表示線段和運(yùn)用勾股定理進(jìn)行幾何計(jì)算．