Question

（2013•德宏州）如圖，已知直線y=x與拋物線y=

1

2

x2交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）記一次函數(shù)y=x的函數(shù)值為y₁，二次函數(shù)y=

1

2

x2的函數(shù)值為y₂．若y₁＞y₂，求x的取值范圍；
（3）在該拋物線上存在幾個(gè)點(diǎn)，使得每個(gè)點(diǎn)與AB構(gòu)成的三角形為等腰三角形？并求出不少于3個(gè)滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可以列出關(guān)于x、y的方程組

y=x y= 1 2 x2

，通過(guò)解方程組可以求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象可以直接回答問(wèn)題；
（3）需要分類討論：以AB為腰和以AB為底的等腰三角形．

解答：解：（1）如圖，∵直線y=x與拋物線y=

1

2

x2交于A、B兩點(diǎn)，
∴

y=x y= 1 2 x2

，
解得，

x=0 y=0

或

x=2 y=2

，
∴A（0，0），B（2，2）；

（2）由（1）知，A（0，0），B（2，2）．
∵一次函數(shù)y=x的函數(shù)值為y₁，二次函數(shù)y=

1

2

x2的函數(shù)值為y₂．
∴當(dāng)y₁＞y₂時(shí)，根據(jù)圖象可知x的取值范圍是：0＜x＜2；

（3）該拋物線上存在4個(gè)點(diǎn)，使得每個(gè)點(diǎn)與AB構(gòu)成的三角形為等腰三角形．理由如下：
∵A（0，0），B（2，2），
∴AB=2

2

．
根據(jù)題意，可設(shè)P（x，

1

2

x²）．
①當(dāng)PA=PB時(shí)，點(diǎn)P是線段AB的中垂線與拋物線的交點(diǎn)．
易求線段AB的中垂線的解析式為y=-x+2，
則

y=-x+2 y= 1 2 x2

，
解得，

x1=- 5 -1 y1=3+ 5

，

x2= 5 -1 y2=3- 5

，
∴P₁（-

5

-1，3+

5

），P₂（

5

-1，3-

5

）；
②當(dāng)PA=AB時(shí)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性知，點(diǎn)P與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱，即P₃（-2，2）；
③當(dāng)AB=PB時(shí)，點(diǎn)P₄的位置如圖所示．
綜上所述，符號(hào)條件的點(diǎn)P有4個(gè)，其中P₁（-

5

-1，3+

5

），P₂（

5

-1，3-

5

），P₃（-2，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)綜合題．其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．解題時(shí)，利用了“分類討論”和“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想．