Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是矩形，，，點P是對角線AC上的動點不與點A，C重合，連接PD，作交射線BC于點E，以線段PD，PE為鄰邊作矩形PEFD．

線段PD的最小值為______；

求證：，并求矩形PEFD面積的最小值；

是否存在這樣的點P，使得是等腰三角形？若存在，請求出PE的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3） PE的長為或．

【解析】

如圖1中，根據(jù)垂線段最短可知，當時，DP的值最小利用面積法即可解決問題；

如圖2中，連接DE、PF交于點O，連接FC，首先證明D、P、E、C、F五點共圓，由∽，推出，即可解決問題；

分兩種情形：點E在線段BC上，點E在線段BC的延長線上，分別求解即可解決問題；

解：如圖1中，根據(jù)垂線段最短可知，當時，DP的值最�。�

在中，，，

，

，

．

故答案為．

證明：如圖2中，連接DE、PF交于點O，連接FC，OC．

四邊形DPEF是矩形，

，

，

，

，

、P、E、C、F五點共圓，

是直徑，

，

，

，

，

，

，

，

，

∽，

，

，

．

∴S矩形PEFD=PE·PD=PD2.

∵PD的最小值是，

∴矩形PEFD面積的最小值是=×()2=.

解：如圖3中，設AC交DE于H．

當時，易證≌，

，

，

，

，

，

，

．

如圖4中，

當時，，

，

在CD上取一點H，速度，則，設，則，，

，

，

，，

，

綜上所述，PE的長為或．