Question

如圖，一次函數(shù)y=-

3

4

x+m的圖象與x軸、y軸分別相交于點A和點B，二次函數(shù)y=-

1

4

x2+bx+6的圖象經(jīng)過A、B兩點．
（1）求這個一次函數(shù)的解析式；
（2）求二次函數(shù)的解析式；
（3）如果點C在這個二次函數(shù)的圖象上，且點C的橫坐標(biāo)為5，求tan∠CAB的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的解析式可求出B點的坐標(biāo)，根據(jù)B點的坐標(biāo)即可確定一次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)（1）題所得一次函數(shù)的解析式，可求出A點的坐標(biāo)，將其代入拋物線的解析式中，即可求出該二次函數(shù)的解析式；
（3）欲求∠CAB的正切值，需將其構(gòu)建到直角三角形中求解；過C作CH⊥AB于H，在Rt△AHC中，∠CAB的正切值等于CH、AH的比，那么關(guān)鍵是求出CH、AH的長；根據(jù)拋物線的解析式，可求出A、C的坐標(biāo)，即可得到AB、BC、OA的長；易證得△CBH∽△BAO，根據(jù)相似三角形得到的比例線段，即可求出CH、BH的長，進(jìn)而可求出AH的長，由此得解．

解答：解：（1）由題意，得點B的坐標(biāo)為（0，6）；（1分）
∴m=6；（1分）
∴一次函數(shù)的解析式為y=-

3

4

x+6；（1分）

（2）由題意，得點A的坐標(biāo)為（8，0）；（1分）
∴0=-

1

4

×82+8b+6，
∴b=

5

4

；（1分）
∴二次函數(shù)的解析式為y=-

1

4

x2+

5

4

x+6；（1分）

（3）∵點C在這個二次函數(shù)的圖象上，且點C的橫坐標(biāo)為5，
∴y=-

1

4

×52+

5

4

×5+6=6；
∴點C的坐標(biāo)為（5，6）；（1分）
作CH⊥AB，垂足為點H；（1分）
∵點B與點C的縱坐標(biāo)相等，
∴BC∥x軸；
∴∠CBH=∠BAO；（1分）
又∵∠CHB=∠BOA=90°，
∴△CHB∽△BOA，
∴

CH

BC

=

BO

AB

；
∵OB=6，OA=8，
∴AB=10；
∴

CH

5

=

6

10

；（1分）
∴CH=3，BH=4，AH=6；（1分）
∴tan∠CAB=

3

6

=

1

2

．（1分）

點評：此題考查了函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)意義，一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式的確定，相似三角形的判定和性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義等知識，綜合性較強，難度適中．