Question

【題目】已知如圖，拋物線y=x2+x﹣與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)）與y軸交于點C，直線BE⊥BC與點B，與拋物線的另一交點為E．

（1）如圖1，求點E的坐標；

（2）如圖2，若點P為x軸下方拋物線上一動點，過P作PG⊥BE與點G，當PG長度最大時，在直線BE上找一點M，使得△APM的周長最小，并求出周長的最小值．

（3）如圖3，將△BOC在射線BE上，設(shè)平移后的三角形為△B′O′C′，B′在射線BE上，若直線B′C′分別與x軸、拋物線的對稱軸交于點R、T，當△O′RT為等腰三角形時，求R的坐標．

Answer 1

【答案】（1）E（﹣4，）；（2）；（3）R（，0）或（，0）或（，0）或（，0）．

【解析】

（1）求出直線BE的解析式，利用方程組求出交點E坐標；

（2）如圖2中，作PK∥OC交BE于K．因為∠PKB是定值=60°，推出當PK的值最大時，PG的值最大，設(shè)P（m，m2+m﹣），則K（m，﹣m+），可得PK=﹣m2﹣m+，可知當m=﹣時，PK的值最大，此時P（﹣，﹣）．如圖2﹣1中，作A關(guān)于BE的對稱點A′，連接PA′交BE于M，連接AM、AP，此時△PAM的周長最��；

（3）如圖3中，設(shè)BB′=m，則BR=2m，R（1﹣2m，0），O′（﹣m， m），分三種情形①當O′T=RT時；②當O′T=O′R時；③當RT=RO′時，分別構(gòu)建方程即可解決問題.

（1）∵拋物線y=x2+x﹣與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)）與y軸交于點C，

令y=0，得到x2+x﹣=0，解得x=﹣3或1，

∴A（﹣3，0），B（1，0），

令x=0，得到y=﹣，

∴C（0，﹣），

∴直線BC的解析式為y=x﹣，

∵BE⊥BC，

∴直線BE的解析式為y=﹣x+，

由，解得或，

∴E（﹣4，）；

（2）如圖2中，作PK∥OC交BE于K．

∵∠PKB是定值=60°，

∴當PK的值最大時，PG的值最大，設(shè)P（m， m2+m﹣），則K（m，﹣m+），

∴PK=﹣m2﹣m+，

∵﹣＜0，

∴當m=﹣時，PK的值最大，此時P（﹣，﹣）．

如圖2﹣1中，作A關(guān)于BE的對稱點A′，連接PA′交BE于M，連接AM、AP，此時△PAM的周長最小，

∵A（﹣3，0），可得A′（﹣1，2），

∴△PAM的周長的最小值=PM+MA+PA=PA+PM+MA′=PA+PA′=+=；

（3）如圖3中，設(shè)BB′=m，則BR=2m，R（1﹣2m，0），O′（﹣m，m），

設(shè)直線BB′的解析式為y=x+b，把R（1﹣2m，0）代入，得到b=（2m﹣1），

∴直線B′C′的解析式為y=x+（2m﹣1），

∴T（﹣1，2m﹣2），

∴O′R2=（m﹣1）2+（m）2，O′T2=（1﹣m）2+（2﹣m）2，RT2=（2﹣2m）2+（2﹣2m）2，

①當O′T=RT時，（1﹣m）2+（2﹣m）2=（2﹣2m）2+（2﹣2m）2，

整理得：7m2﹣11m+3=0，

解得m=，

∴R（，0）或（，0）．

②當O′T=O′R時，（m﹣1）2+（m）2=（1﹣m）2+（2﹣m）2，

整理得：2m2﹣5m+6=0，

△＜0無解．

③當RT=RO′時，（m﹣1）2+（m）2=（2﹣2m）2+（2﹣2m）2，

整理得15m2﹣31m+15=0

解得m=，

∴R（，0）或（，0）．