Question

已知函數(shù)y1=ax2+a2x+2b-a3，當(dāng)-2＜x＜6時，y₁＞0，而當(dāng)x＜-2或x＞6時，y₁＜0．
（1）求實數(shù)a，b的值及函數(shù)y1=ax2+a2x+2b-a3的表達式；
（2）設(shè)函數(shù)y2=-

k

4

y1+4(k+1)x+2(6k-1)，k取何值時，函數(shù)y₂的值恒為負(fù)？

Answer 1

分析：（1）由題意可知：-2和6為方程ax²+a²x+2b-a³=0的兩根，則把兩根代入到方程中求出a，b并得到函數(shù)解析式即可；
（2）把y₁=-4x²+16x+48代入到y(tǒng)₂=-

k

4

y₁+4（k+1）x+2（6k-1）中得到y(tǒng)₁=-

k

4

（-4x²+16x+48）+4（k+1）x+2（6k-1）=kx²+4x-2．因為函數(shù)y₂的值恒為負(fù)數(shù)，所以得到二次項系數(shù)小于0且根的判別式△＜0，由以上兩個條件組成不等式組，求出解集即可．

解答：解：（1）由題意得方程ax²+a²x+2b-a³=0的兩根為x₁=-2，x₂=6，
由

x1+x2=- a2 a x1•x2= 2b-a3 a

，
解得a=-4，b=-8，
代入得函數(shù)表達式為y₁=-4x²+16x+48；

（2）由（1）得y₁=-

k

4

（-4x²+16x+48）+4（k+1）x+2（6k-1）=kx²+4x-2，
若函數(shù)值恒為負(fù)，
則此二次函數(shù)為開口向下與x軸無交點，
所以有

k＜0 △=42-4•k•(-2)＜0

，
解的k＜-2，
所以k＜-2時，函數(shù)y₂的值恒為負(fù)．

點評：本題考查了二次函數(shù)知識與方程知識的有機結(jié)合．這類試題一般難度較大．解這類問題關(guān)鍵是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用函數(shù)圖象的有關(guān)性質(zhì)，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．