Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，3），點(diǎn)A的坐標(biāo)是（8，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，3），P、Q分別是x、y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從C出發(fā)，在線段CB上以1個(gè)單位/秒的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，點(diǎn)Q從A出發(fā)，在線段AO上以2個(gè)單位/秒的速度向點(diǎn)O 移動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ平分四邊形OABC的面積？
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ⊥OB？
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥AB？
（4）當(dāng)t為何值時(shí)，△OPQ是等腰三角形？

Answer 1

分析：點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，3），則一定有BC∥OA．則四邊形ABCO是直角梯形．
（1）PQ平分四邊形OABC的面積，則四邊形OQPC的面積即可求解，且這個(gè)四邊形的直角梯形或矩形，據(jù)此即可得到一個(gè)關(guān)于t的方程，即可求解；
（2）△PMQ∽△BCO時(shí)，PQ⊥OB，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求得t的值；
（3）當(dāng)PQ∥AB時(shí)，四邊形ABPQ是平行四邊形，即BP=AQ，據(jù)此即可求解；
（4）當(dāng)OP=PQ時(shí)，作PF⊥OA于F，則OF=QF，根據(jù)勾股定理即可求解．

解答：解：（1）由題意可知BC∥OA，BC=4，OA=8，OC=3
∴梯形OABC的面積=

1

2

×（4+8）×3=18
當(dāng)PQ平分四邊形OABC的面積時(shí)

1

2

×（t+8-2t）×3=9
解得t=2
即當(dāng)t=2時(shí)，PQ平分四邊形OABC的面積（3分）

（2）當(dāng)PQ⊥OB時(shí)，作PM⊥OA于點(diǎn)M，易證△PMQ∽△BCO
∴

PM

BC

=

QM

CO

，
∴

3

4

=

8-3t

3

解得：t=

23

12

即：當(dāng)t=

23

12

時(shí)，PQ⊥OB．（6分）

（3）當(dāng)PQ∥AB時(shí)，
BP=AQ
∴4-t=2t
解得t=

4

3

即當(dāng)t=

4

3

時(shí)，PQ∥AB（9分）

（4）當(dāng)OP=PQ時(shí)，作PF⊥OA于F
則OF=QF
4t=8
t=2
OP=OQ時(shí)，
3²+t²=（8-2t）²
解得t₁=

16+ 91

3

（不合題意，舍去）
t₂=

16- 91

3

∴t=

16- 91

3

當(dāng)QO=QP時(shí)
3²+（8-3t）²=（8-2t）²
解得t₁=

8+ 19

5

t₂=

8- 19

5

．
綜上所述：當(dāng)t=2或t=

16- 91

3

或t=

8+ 19

5

或t=

8- 19

5

時(shí)，△OPQ是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平行四邊形，相似三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，正確理解平行四邊形的判定方法，從而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．