Question

【題目】閱讀材料，解答問題：如果一個四位自然數(shù)，十位數(shù)字是千位數(shù)字的2倍與百位數(shù)字的差，個位數(shù)字是千位數(shù)字的2倍與百位數(shù)字的和，則我們稱這個四位數(shù)“依賴數(shù)”，例如，自然數(shù)2135，其中3＝2×2﹣1，5＝2×2+1，所以2135是“依賴數(shù)”．

（1）請直接寫出最小的四位依賴數(shù)；

（2）若四位依賴數(shù)的后三位表示的數(shù)減去百位數(shù)字的3倍得到的結果除以7余3，這樣的數(shù)叫做“特色數(shù)”，求所有特色數(shù)．

（3）已知一個大于1的正整數(shù)m可以分解成m＝pq+n4的形式（p≤q，n≤b，p，q，n均為正整數(shù)），在m的所有表示結果中，當nq﹣np取得最小時，稱“m＝pq+n4”是m的“最小分解”，此時規(guī)定：F（m）＝，例：20＝1×4+24＝2×2+24＝1×19+14，因為1×19﹣1×1＞2×4﹣2×1＞2×2﹣2×2，所以F（20）＝＝1，求所有“特色數(shù)”的F（m）的最大值．

Answer 1

【答案】（1）1022；（2）3066，2226；（3）

【解析】

（1）由于千位不能為0，最小只能取1；根據(jù)題目得出相應的公式：十位＝2×千位﹣百位，個位＝2×千位+百位，分別求出十位和個位，即可求出最小的四位依賴數(shù)；

（2）設千位數(shù)字是x，百位數(shù)字是y，根據(jù)“依賴數(shù)”定義，則有：十位數(shù)字是（2x﹣y），個位數(shù)字是（2x+y），依據(jù)題意列出代數(shù)式然后表示為7的倍數(shù)加余數(shù)形式，然后求出x、y即可，從而求出所有特色數(shù);

（3）根據(jù)最小分解的定義可知： n越小，p、q越接近，nq﹣np才越小，才是最小分解，此時F（m）＝，故將（2）中特色數(shù)分解，找到最小分解，然后將n、p、q的值代入F（m）＝，再比較大小即可.

解：（1）由題意可知：千位一定是1，百位取0，十位上的數(shù)字為：2×1－0=2，個位上的數(shù)字為：2×1＋0=2則最小的四位依賴數(shù)是1022；

（2）設千位數(shù)字是x，百位數(shù)字是y，根據(jù)“依賴數(shù)”定義，

則有：十位數(shù)字是（2x﹣y），個位數(shù)字是（2x+y），

根據(jù)題意得：100y+10（2x﹣y）+2x+y﹣3y＝88y+22x＝21（4y+x）+（4y+x），

∵21（4y+x）+（4y+x）被7除余3，

∴4y+x＝3+7k，（k是非負整數(shù)）

∴此方程的一位整數(shù)解為：x=4，y=5（此時2x+y＞10，故舍去）；x＝3，y＝7（此時2x﹣y＜0，故舍去）；x＝3，y＝0；x＝2，y＝2；x＝1，y＝4（此時2x﹣y＜0，故舍去）；

∴特色數(shù)是3066，2226．

（3）根據(jù)最小分解的定義可知： n越小，p、q越接近，nq﹣np才越小，才是最小分解，此時F（m）＝，

由（2）可知：特色數(shù)有3066和2226兩個，

對于3066＝613×5+14=61×50+24

∵1×613－1×5＞2×61－2×50，

∴3066取最小分解時：n=2，p=50，q=61

∴F（3066）＝

對于2226＝89×25+14＝65×34+24，

∵1×89－1×25＞2×65－2×34，

∴2226取最小分解時：n=2，p=34，q=65

∴F（2226）＝

∵

故所有“特色數(shù)”的F（m）的最大值為：．