Question

如圖，已知點(diǎn)O為Rt△ABC斜邊上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的⊙O與BC相切于點(diǎn)E，與AC相交于點(diǎn)D，連接AE．
（1）求證：AE平分∠CAB；
（2）當(dāng)AE=EC，AC=3時(shí)，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）連接OE，則OE⊥BC，由于AB⊥BC，故可得出AB∥OE，進(jìn)而可得出∠2=∠AEO，由于OA=OE，故∠1=∠AEO，進(jìn)而可得出∠1=∠2；
（2）利用（1）中的結(jié)論求得∠1=∠2．所以由等腰△AEC的性質(zhì)和直角三角形的兩個(gè)銳角互余的性質(zhì)求得3∠C=90°，則∠C=30°，所以通過(guò)解直角△OEC即可求得該圓的半徑．

解答：（1）證明：連接OE，
∵⊙O與BC相切于點(diǎn)E，
∴OE⊥BC，
∵AB⊥BC，
∴AB∥OE，
∴∠2=∠AEO．
∵OA=OE，
∴∠1=∠AEO，
∴∠1=∠2，即AE平分∠CAB；

（2）由（1）知，∠1=∠2、
∵AE=EC，
∴∠1=∠C．
∴∠1+∠2+∠C=3∠C=90°，
∴∠C=30°，
∴OE=

1

2

OC，即OE=

1

2

（3-OE），
解得，OE=1，即該圓的半徑是1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是切線(xiàn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，在解答此類(lèi)題目時(shí)要熟知“若出現(xiàn)圓的切線(xiàn)，必連過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系”．