Question

（2013•常州模擬）如圖，已知點O為Rt△ABC斜邊上一點，以點O為圓心，OA長為半徑的⊙O與BC相切于點E，與AC相交于點D，連接AE．
（1）說明：AE平分∠CAB；
（2）探究圖中∠1與∠C的數(shù)量關系，并求當AE=EC時tan∠AEB的值．

Answer 1

分析：（1）連接OE，則OE⊥BC，推出OE∥AB，推出∠1=∠OEA=∠BAE，即可得出答案；
（2）求出∠C+∠EOC=90°和∠EOC=2∠1，即可得出答案．

解答：解：（1）連接OE，
∵⊙O與BC相切于E，
∴OE⊥BC，
∵AB⊥BC，
∴AB∥OE，
∴∠BAE=∠OEA，
∵OA=OE，
∴∠1=∠OEA，
∴∠1=∠BAE，
即AE平分∠CAB．

（2）2∠1+∠C=90°，
理由是：∵∠EOC是△AOE的外角，
∴∠EOC=∠1+∠OEA，
∵∠1=∠OEA，
∴∠EOC=2∠1，
∵OE⊥BC，
∴∠OEC=90°，
∴∠EOC+∠C=90°，
∴2∠1+∠C=90°．
∵AE=EC，
∴∠1=∠C，
∴3∠C=90°，
∴∠C=30°，
∴tanC=tan30°=

3

3

．

點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，切線的性質(zhì)，平行線性質(zhì)，解直角三角形等知識點的應用，主要考查學生綜合運用性質(zhì)進行推理的能力．