Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+2（m﹣2）x+3的圖象與x、y軸交于A、B、C三點(diǎn)，其中A（3，0），拋物線的頂點(diǎn)為D．

（1）求m的值及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）如圖1，若動(dòng)點(diǎn)P在第一象限內(nèi)的拋物線上，動(dòng)點(diǎn)N在對(duì)稱軸1上，當(dāng)PA⊥NA，且PA＝NA時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖2，若點(diǎn)Q是二次函數(shù)圖象上對(duì)稱軸右側(cè)一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)Q到直線BC的距離為d，到拋物線的對(duì)稱軸的距離為d1，當(dāng)|d﹣d1|＝2時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）m＝3，(1，4)；（2）(1，2)；（3）(，2﹣7)

【解析】

（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式，即可求解；

（2）證明△NMA≌△AHP（AAS），則AH＝MN＝3﹣1＝2，即yP＝2＝﹣x2+2x+3，即可求解；

（3）已知點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)可求出直線BC的解析式，過點(diǎn)Q作y軸的平行線交BC于點(diǎn)M，則∠BCO=∠M，設(shè)點(diǎn)Q（t，﹣t2+2t+3），則點(diǎn)M（t，3t+3），則d＝DH＝MQ＝[（3t+3）﹣（﹣t2+2t+3）]，d1＝t﹣1，即可求解．

（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式得：0＝﹣32+2（m﹣2）×3+3，

解得：m＝3，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+2x+3，

故點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（1，4）；

（2）過點(diǎn)A作y軸的平行線交過點(diǎn)N與x軸的平行線于點(diǎn)M，交過點(diǎn)P與x軸的平行線于點(diǎn)H，

∵∠NAM+∠PAH＝90°，∠NAM+∠ANM＝90°，

∴∠PAH＝∠ANM，

∵∠NMA＝∠AHP＝90°，AP＝NP，

∴△NMA≌△AHP（AAS），

∴AN＝MN＝3﹣1＝2，

即yP＝2＝﹣x2+2x+3，

解得：x＝（舍去負(fù)值），

故點(diǎn)P；

（3）設(shè)直線BC的表達(dá)式為：y＝kx+b，則，解得：，

由點(diǎn)B、C的表達(dá)式為：y＝3x+3，

如圖2，過點(diǎn)Q作y軸的平行線交BC于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N，

則MN∥y軸，

∴∠BCO＝∠M，而＝，則＝＝sin∠M，

過點(diǎn)Q作QH⊥BM，設(shè)點(diǎn)Q（t，﹣t2+2t+3），則點(diǎn)M（t，3t+3），

則d＝DH＝MQ＝ [（3t+3）﹣（﹣t2+2t+3）]，d1＝t﹣1，

∵|d﹣d1|＝2，即 [（3t+3）﹣（﹣t2+2t+3）]﹣（t﹣1）＝±2，

解得：t＝或﹣1（舍去），

故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：．