Question

已知：如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，交CA的延長線于點E．
（1）當BC=5，CE=4，AD=2，求CD的長；
（2）若AB=AC，試證：

BD

=

DE

．

Answer 1

分析：（1）由AB為⊙O的直徑，根據(jù)圓周角定理，可得∠BEC=∠BDA=90°，又由∠C是公共角，即可證得△BCE∽△ADC，然后利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得CD的長；
（2）由AB=AC，利用等腰三角形的性質(zhì)，可得∠BAD=∠CAD，又由相似三角形的對應(yīng)角相等，易證得∠EBD=∠BAD，即可得

BD

=

DE

．

解答：解（1）∵AB為⊙O的直徑，
∴∠BEC=∠BDA=90°，
又由∠C是公共角，
∴△BCE∽△ADC，
∴

CD

CE

=

AD

BE

，
∵CE=4，BC=5，AD=2，
在Rt△BCE中，BE=

BC2-CE2

=

52-42

=3，
∴CD=

AD•CE

BE

=

2×4

3

=

8

3

；

（2）若AB=AC，則∠ABC=∠C，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵△BCE∽△ADC，
∴∠EBC=∠CAD，
∴∠EBD=∠BAD，
∴

BD

=

DE

．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．