Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸向右以毎秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)t秒（t＞0），拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)O和點(diǎn)P，已知矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)為 A （1，0），B （1，-5），D （4，0）．
（1）求c，b （用含t的代數(shù)式表示）：
（2）當(dāng)4＜t＜5時(shí)，設(shè)拋物線分別與線段AB，CD交于點(diǎn)M，N．
①在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，你認(rèn)為∠AMP的大小是否會(huì)變化？若變化，說(shuō)明理由；若不變，求出∠AMP的值；
②求△MPN的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求t為何值時(shí)，S=

21

8

；
（3）在矩形ABCD的內(nèi)部（不含邊界），把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為“好點(diǎn)”．若拋物線將這些“好點(diǎn)”分成數(shù)量相等的兩部分，請(qǐng)直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)O和點(diǎn)P，將點(diǎn)O與P的坐標(biāo)代入方程即可求得c，b；
（2）①當(dāng)x=1時(shí)，y=1-t，求得M的坐標(biāo)，則可求得∠AMP的度數(shù)，
②由S=S_{四邊形AMNP}-S_△PAM=S_△DPN+S_梯形NDAM-S_△PAM，即可求得關(guān)于t的二次函數(shù)，列方程即可求得t的值；
（3）根據(jù)圖形，即可直接求得答案．

解答：解：（1）把x=0，y=0代入y=x²+bx+c，得c=0，
再把x=t，y=0代入y=x²+bx，得t²+bt=0，
∵t＞0，
∴b=-t；

（2）①不變．
∵拋物線的解析式為：y=x²-tx，且M的橫坐標(biāo)為1，
∴當(dāng)x=1時(shí)，y=1-t，
∴M（1，1-t），
∴AM=|1-t|=t-1，
∵OP=t，
∴AP=t-1，
∴AM=AP，
∵∠PAM=90°，
∴∠AMP=45°；
②S=S_{四邊形AMNP}-S_△PAM=S_△DPN+S_梯形NDAM-S_△PAM
=

1

2

（t-4）（4t-16）+

1

2

[（4t-16）+（t-1）]×3-

1

2

（t-1）（t-1）
=

3

2

t²-

15

2

t+6．
解

3

2

t²-

15

2

t+6=

21

8

，
得：t₁=

1

2

，t₂=

9

2

，
∵4＜t＜5，
∴t₁=

1

2

舍去，
∴t=

9

2

．

（3）

7

2

＜t＜

11

3

．
①左邊4個(gè)好點(diǎn)在拋物線上方，右邊4個(gè)好點(diǎn)在拋物線下方：無(wú)解；
②左邊3個(gè)好點(diǎn)在拋物線上方，右邊3個(gè)好點(diǎn)在拋物線下方：
則有-4＜y₂＜-3，-2＜y₃＜-1即-4＜4-2t＜-3，-2＜9-3t＜-1，

7

2

＜t＜4且

10

3

＜t＜

11

3

，解得

7

2

＜t＜

11

3

；
③左邊2個(gè)好點(diǎn)在拋物線上方，右邊2個(gè)好點(diǎn)在拋物線下方：無(wú)解；
④左邊1個(gè)好點(diǎn)在拋物線上方，右邊1個(gè)好點(diǎn)在拋物線下方：無(wú)解；
⑤左邊0個(gè)好點(diǎn)在拋物線上方，右邊0個(gè)好點(diǎn)在拋物線下方：無(wú)解；
綜上所述，t的取值范圍是：

7

2

＜t＜

11

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)與點(diǎn)的關(guān)系，以及三角形面積的求解方法等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用．