Question

如圖，點(diǎn)A在x軸上，OA=4，將線(xiàn)段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置．

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．O、B的拋物線(xiàn)的解析式；

（3）在此拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題；分類(lèi)討論。

解答：解：（1）如圖，過(guò)B點(diǎn)作BC⊥x軸，垂足為C，則∠BCO=90°，

∵∠AOB=120°，

∴∠BOC=60°，

又∵OA=OB=4，

∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×=2，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2，﹣2）；

（2）∵拋物線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)O和點(diǎn)A．B，

∴可設(shè)拋物線(xiàn)解析式為y=ax²+bx，

將A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得

，

解得，

∴此拋物線(xiàn)的解析式為y=﹣x²+x

（3）存在，

如圖，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是x=2，直線(xiàn)x=2與x軸的交點(diǎn)為D，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，y），

①若OB=OP，

則2²+|y|²=4²，

解得y=±2，

當(dāng)y=2時(shí)，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD==，

∴∠POD=60°，

∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，

即P、O、B三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上，

∴y=2不符合題意，舍去，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣2）

②若OB=PB，則4²+|y+2|²=4²，

解得y=﹣2，

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣2），

③若OP=BP，則2²+|y|²=4²+|y+2|²，

解得y=﹣2，

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣2），

綜上所述，符合條件的點(diǎn)P只有一個(gè)，其坐標(biāo)為（2，﹣2），