Question

【題目】（定義）如圖1，A，B為直線l同側(cè)的兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線l的對稱點(diǎn)，連接B交直線l于點(diǎn)P，連接AP，則稱點(diǎn)P為點(diǎn)A，B關(guān)于直線的“等角點(diǎn)”．

（運(yùn)用）如圖2，在平面直坐標(biāo)系xOy中，已知A(2,)，B(-2,-)兩點(diǎn)．

（1）C(4,)，D(4,)，E(4,)三點(diǎn)中，點(diǎn)　　是點(diǎn)A，B關(guān)于直線x=4的等角點(diǎn)；

（2）若直線l垂直于x軸，點(diǎn)P(m,n)是點(diǎn)A，B關(guān)于直線l的等角點(diǎn)，其中m>2，∠APB=α，求證：；

（3）若點(diǎn)P是點(diǎn)A，B關(guān)于直線y=ax+b(a≠0)的等角點(diǎn)，且點(diǎn)P位于直線AB的右下方，當(dāng)∠APB=60°時(shí)，求b的取值范圍（直接寫出結(jié)果）．

Answer 1

【答案】（1）C；（2）證明見解析；（3）見解析.

【解析】

（1）根據(jù)“等角點(diǎn)”的定義找到A關(guān)于x＝4的對稱點(diǎn)A＇，連接A＇B，求得與x＝4的交點(diǎn)即可；

（2）根據(jù)“等角點(diǎn)”的定義和三角函數(shù)的知識，再利用△APG∽△BPH，即可得到；

（3）構(gòu)造輔助圓⊙O解題，當(dāng)直線y＝ax＋b與⊙O相交的另一個(gè)交點(diǎn)為Q時(shí)，利用圓周角定理以及對稱性可證明△ABQ為等邊三角形，從而確定Q為定點(diǎn)．再過A，Q分別作y軸的垂線，構(gòu)造相似三角形（Rt△AMO∽Rt△ONQ），利用相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求出Q的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出BQ和AQ的解析式，由此即可確定b的取值范圍．

解：（1）點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為

直線解析式為：

當(dāng)時(shí)，

故答案為：

（2）如圖，過點(diǎn)作直線的對稱點(diǎn)，連，交直線于點(diǎn)

作于點(diǎn)

點(diǎn)和關(guān)于直線對稱

，即

，即

，

在中，

（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)位于直線的右下方，時(shí)，

點(diǎn)在以為弦，所對圓周為，且圓心在下方

若直線與圓相交，設(shè)圓與直線的另一個(gè)交點(diǎn)為

由對稱性可知：，

又

，

是等邊三角形

線段為定線段

點(diǎn)為定點(diǎn)

若直線與圓相切，易得、重合

直線過定點(diǎn)

連，過點(diǎn)、分別作軸，軸，垂足分別為、

，

是等邊三角形

，

又，

，，點(diǎn)坐標(biāo)為

設(shè)直線解析式為

將、坐標(biāo)代入得

解得

直線的解析式為：.

設(shè)直線的解析式為：,

將、兩點(diǎn)代入，

解得.

直線的解析式為：.

若點(diǎn)與點(diǎn)重合，則直線與直線重合，此時(shí)，.

若點(diǎn)與點(diǎn)重合，則直線與直線重合，此時(shí)，.

又，且點(diǎn)位于右下方，

且或.