Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，O為AB上一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A、D的⊙O分別交邊AB、AC于點(diǎn)E、F．

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）若BE=16，sinB=，求AF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】

（1）連接OD，由AD為角平分線得到一對(duì)角相等，再由等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，等量代換得到內(nèi)錯(cuò)角相等，進(jìn)而得到OD與AC平行，得到OD與BC垂直，即可得證；

（2）連接EF，設(shè)圓的半徑為r，由sinB的值，利用銳角三角函數(shù)定義求出r的值，由直徑所對(duì)的圓周角為直角，得到EF與BC平行，得到sin∠AEF＝sinB，進(jìn)而求出AF的長(zhǎng)即可．

（1）證明：如圖，連接OD，

∵AD為∠BAC的角平分線，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵OA＝OD，

∴∠ODA＝∠OAD，

∴∠ODA＝∠CAD，

∴OD∥AC，

∵∠C＝90°，

∴∠ODC＝90°，

∴OD⊥BC，

∴BC為圓O的切線；

（2）在Rt△BOD中，sinB=，

設(shè)圓的半徑為r，可得，

解得：r＝10，

經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，

連接EF，

∵AE是直徑

∴∠AFE=90°

∴EF∥BC

∴∠B=∠AEF

∴sinB=sin∠AEF=

即

∴AF=．