Question

已知點(diǎn)O在直線(xiàn)l上，

AD

是以O(shè)為圓心的某圓上的一段弧，∠AOD=90°，分別過(guò)A、D兩點(diǎn)作l的垂線(xiàn)，垂足為B、C．
（1）當(dāng)點(diǎn)A、D在直線(xiàn)l的同側(cè)時(shí)，試探索線(xiàn)段AB、BC、CD之間有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論并予以證明；當(dāng)點(diǎn)A、D在直線(xiàn)l的兩側(cè)時(shí)，且AB≠CD時(shí)，線(xiàn)段AB、BC、CD之間又有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論（不必證明）．
（2）如圖，

當(dāng)點(diǎn)A、D在直線(xiàn)l的同側(cè)，如果AB=3，CD=4，點(diǎn)M是

AD

的中點(diǎn)，MN⊥BC，垂足為點(diǎn)N，求MN的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓的性質(zhì)可知OA=OD，根據(jù)已知可得∠ABC=∠OCD=∠AOD=90°，由余角的性質(zhì)可得∠AOB=∠ODC
即可證得Rt△ABO≌Rt△OCD，可得AB+CD=BC；在兩側(cè)的證明方法一樣，可求得BC=|AB-CD|．
（2）此題需要借助于輔助線(xiàn)，需要構(gòu)造矩形與相似三角形，根據(jù)它們的性質(zhì)求解即可，輔助線(xiàn)為過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CD，垂足為點(diǎn)H，連接MO，可得矩形，又點(diǎn)M是弧

AD

的中點(diǎn)，AD⊥OM，MN⊥BC，所以AH∥BC，即得MN⊥AH，∠DAH=∠OMN，即可證Rt△DAH∽R(shí)t△OMN；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得．

解答：（1）解：AB+CD=BC．（1分）
①證：在Rt△ABO和Rt△OCD中，
∵∠BAO+∠AOC=90°，∠DOC+∠AOC=90°
∴∠BAO=∠DOC
∵OA=OD
∴Rt△ABO≌Rt△OCD（2分）
∴AB=OC，BO=CD
∴AB+CD=OC+BO=BC（2分）
即：AB+CD=BC
②BC=|AB-CD|．（2分）

（2）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CD，垂足為點(diǎn)H，連接MO（1分）
得：四邊形ABCH為矩形，
∴AH=BC=AB+CD=7，DH=1
∴AD=

AH2+DH2

=

72+12

=5

2

∵AB=OC，
∴OD=

OC2+CD2

=

32+42

=5
∴OM=OD=5
∵點(diǎn)M是弧

AD

的中點(diǎn)，
∴AD⊥OM
∵M(jìn)N⊥BC，AH∥BC，
∴MN⊥AH
∴∠DAH=∠OMN
∴Rt△DAH∽R(shí)t△OMN（2分）
∴

AH

MN

=

AD

MO

∴

7

MN

=

5 2

5

∴MN=

7 2

2

（2分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓與相似三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，還要注意輔助線(xiàn)的作法，選擇好輔助線(xiàn)會(huì)達(dá)到事半功倍的效果．