小明在學(xué)習(xí)軸對(duì)稱(chēng)的時(shí)候,老師留了這樣一道思考題:如圖,已知在直線l的同側(cè)有A、B兩點(diǎn),請(qǐng)你在直線l上確定一點(diǎn)P,使得PA+PB的值最小.小明通過(guò)獨(dú)立思考,很快得出了解決這個(gè)問(wèn)題的正確方法,他的作法是這樣的:
①作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′.
②連接A′B,交直線l于點(diǎn)P.則點(diǎn)P為所求.請(qǐng)你參考小明的作法解決下列問(wèn)題:
(1)如圖1,在△ABC中,點(diǎn)D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn),BC=6,BC邊上的高為4,請(qǐng)你在BC邊上確定一點(diǎn)P,使得△PDE的周長(zhǎng)最小.
①在圖1中作出點(diǎn)P.(三角板、刻度尺作圖,保留作圖痕跡,不寫(xiě)作法)
②請(qǐng)直接寫(xiě)出△PDE周長(zhǎng)的最小值______.
(2)如圖2在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,G為邊AD的中點(diǎn),若E、F為邊AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)E在點(diǎn)F左側(cè),且EF=1,當(dāng)四邊形CGEF的周長(zhǎng)最小時(shí),請(qǐng)你在圖2中確定點(diǎn)E、F的位置.(三角板、刻度尺作圖,保留作圖痕跡,不寫(xiě)作法),并直接寫(xiě)出四邊形CGEF周長(zhǎng)的最小值______
【答案】
分析:(1)①利用軸對(duì)稱(chēng)作出D點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′,連接D′E即可得出P點(diǎn)坐標(biāo),
②要求△PDE周長(zhǎng)的最小值求出DP+PE的最小值即可,利用已知由勾股定理求出即可;
(2)利用已知可以得出GC,EF長(zhǎng)度不變,求出GE+CF最小時(shí)即可得出四邊形CGEF周長(zhǎng)的最小值,利用軸對(duì)稱(chēng)得出E,F(xiàn)位置,即可求出.
解答:
解:(1)①如圖1所示:
②∵點(diǎn)D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn),BC=6,
∴DE=3,
∵BC邊上的高為4,
∴DD′=4,
∵DD′⊥BC,DE∥BC,
∴DD′⊥DE,
∴ED′=

=5,
C
△PDE=D′E+DE=5+3=8;
故答案為:8;
(2)如圖2,作G關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M,
在CD上截取CH=1,然后連接HM交AB于E,
接著在EB上截取EF=1,
那么E、F兩點(diǎn)即可滿足使四邊形CGEF的周長(zhǎng)最。
∵AB=4,BC=6,G為邊AD的中點(diǎn),
∴DG=AG=AM=3,
∵AE∥DH,
∴

=

,
∴

=

,

=

,
故AE=1,
∴GE=

=

,
BF=2,CF=

=

=2

,
CG=

=5,
∴C
四邊形GEFC=GE+EF+FC+CG=6+3

.
故答案為:6+3

.
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了利用軸對(duì)稱(chēng)求最短路徑問(wèn)題以及勾股定理等知識(shí),利用GE+CF最小時(shí)即可得出四邊形CGEF周長(zhǎng)的最小值得出E,F(xiàn)位置是解題關(guān)鍵.