Question

【題目】如圖，AB是⊙0的直徑，AB=10，CD是⊙0的切線，C為切點，交直線AB于E，AD⊥CD于D，AD=2CD．

（1）求證：∠CAB=∠CAD；

（2）求CD的長；

（3）求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明過程見解析；（2）4；（3）.

【解析】

（1）根據切線和垂直得出∠OCA=∠DAC，再根據OA=OC得出∠OCA=∠OAC，即可得出答案；

（2）先求出△ACB∽△ADC得出AC=2CB，再結合勾股定理求出CB和AC的值，進而在△ACD中利用勾股定理求出CD和AD的值，即可得出答案；

（3）根據已知證出△ADE∽△OCE，再根據相似三角形對應邊成比例即可得出答案.

（1）連接OC

∵CD是圓O的切線

∴∠OCD=∠OCE=90°

∴∠OCA+∠ACD=90°

又AD⊥CD

∴∠DAC+∠DCA=90°

∴∠OCA=∠DAC

又∵OC=OA

∴∠OCA=∠OAC

∴∠BAC=∠DAC

（2）∵AB是圓O的直徑

∴∠ACB=90°

∴△ACB∽△ADC

又AD=2CD

∴AC=2CB

設AC=2x，CB=x

解得：(負值舍去)

設CD=y，則AD=2y

則

解得：y=±4(負值舍去)

∴CD=4

（3）∵CD=4，AD=8

∵AB是圓O的直徑，AB=10

∴OA=OB=5

∴OE=AE-OA=AE-5

∵∠ADE=∠OCE，∠E=∠E

∴△ADE∽△OCE

∴

即

解得：AE=