Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，拋物線頂點(diǎn)為H（1，2）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P為直線AD上方拋物線的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PD．當(dāng)S△PAD=3，若在x軸上存在一動(dòng)點(diǎn)Q，使PQ+QB最小，求此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)及PQ+QB的最小值；

（3）若點(diǎn)E為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G，F(xiàn)為平面內(nèi)的點(diǎn)，以BE為邊構(gòu)造以B，E，F(xiàn)，G為頂點(diǎn)的正方形，當(dāng)頂點(diǎn)F或者G恰好落在y軸上時(shí)，求點(diǎn)E的橫坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+；（2）；（3）或1+或2+．

【解析】

（1））由拋物線的頂點(diǎn)為H（1，2），可以假設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）2+2，把A（-1，0）代入得到，a=-；

（2）如圖1中，連接PA，PD，在y軸上取一點(diǎn)M（0，-），連接BM，作QN⊥BM于N．設(shè)AD交對(duì)稱軸于K．首先證明QN=BQ，推出PQ+BQ=PQ+QN，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)HN⊥BM，且P，Q，N共線時(shí)，PQ+BQ的值最小，最小值=線段PN的值；

（3）設(shè)P（m，-m2+m+3），有三種情況：①如圖2，當(dāng)G在y軸上時(shí)，過E作EQ⊥y軸于Q，作EM⊥x軸于M，證明△EQG≌△EMB，則EQ=EM，列方程可得m的值；②當(dāng)F在y軸上時(shí)，如圖3，過E作EM⊥x軸于M，同法可得；③當(dāng)G在y軸上時(shí)，如圖4，作EM⊥OB于E，EN⊥OG于N．只要證明EM=EN，構(gòu)建方程即可解決問題.

（1）∵拋物線的頂點(diǎn)為H（1，2），

∴可以假設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣1）2+2，

把A（﹣1，0）代入得到，a=﹣，

∴拋物線的解析式為y=﹣（x﹣1）2+2，即y=﹣x2+x+；

（2）如圖1中，連接PA，PD，在y軸上取一點(diǎn)M（0，﹣），連接BM，作QN⊥BM于N．設(shè)AD交對(duì)稱軸于K，

由題意C（0，），D（2，），A（﹣1，0），B（3，0），

∴直線AD的解析式為y=x+,，

∴K（1，1），設(shè)P（1，m），

則有×（m﹣1）×3=3，

∴m=3，

∴P（1，3），

∵OB=3，OM=，

∴BM=，

∴sin∠ABM==，

∴=，

∴QN=BQ，

∴PQ+BQ=PQ+QN，

根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)HN⊥BM，且P，Q，N共線時(shí)，PQ+BQ的值最小，最小值=線段PN的值,

∵直線BM的解析式為y=x﹣，

∴當(dāng)PN⊥BM時(shí)，直線PN的解析式為y=﹣2x+5，此時(shí)Q（3，0），

由，解得，

∴N（，﹣），

∴PN==，

∴PQ+BQ的最小值為；

（3）設(shè)F（m，﹣m2+m+），

有三種情況：

①如圖2，當(dāng)G在y軸上時(shí)，過E作EQ⊥y軸于Q，作EM⊥x軸于M，

∵四邊形EBFG是正方形，

∴EG=EB，

∵∠EQG=∠EMB=90°，∠QEG=∠MEB，

∴△EQG≌△EMB，

∴EQ=EM，

即m=﹣m2+m+，

解得：m1=，m2=﹣（舍），

∴E的橫坐標(biāo)為；

②當(dāng)F在y軸上時(shí)，如圖3，過E作EM⊥x軸于M，

同理得：△EMB≌△BOF，

∴OB=EM=3，

即﹣m2+m+=﹣3，

m1=1﹣（舍），m2=1+，

∴E的橫坐標(biāo)為1+；

③當(dāng)G在y軸上時(shí)，如圖4，作EM⊥OB于E，EN⊥OG于N，

同法可證：EN=EM，

∴m=﹣（﹣m2+m+），

解得m1=2+，m2=2﹣（舍棄），

∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2+

綜上所述，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為或1+或2+．