Question

如圖，已知直線y=-

1

2

x+1交坐標軸于A、B兩點，以線段AB為邊向上作正方形ABCD，過A、D、C作拋物線L₁．
（1）請直接寫出點C、D的坐標；
（2）求拋物線L₁的解析式；
（3）若正方形以每秒

5

個長度單位的速度沿射線AB下滑，直至頂點D落在x軸上時停止．設正方形在運動過程中落在x軸下方部分的面積為S．求S關于滑行時間t的函數關系式；
（4）在（3）的條件下，拋物線L₁與正方形一起平移，同時停止，得到拋物線L₂．兩拋物線的頂點分別為M、N，點 P是x軸上一動點，點Q是拋物線L₁上一動點，是否存在這樣的點P、Q，使得以M、N、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先由直線AB的解析式求出A、B兩點的坐標，過D作DE⊥y軸于E，通過構建的全等三角形：△ADE和△BAO，可以求出DE、AE的長，進而能得到點D的坐標；C點坐標的求法同理．
（2）利用待定系數法求拋物線的解析式即可．
（3）隨著正方形的移動，正方形在x軸下方的形狀會不斷的變化，所以要注意三個關鍵點：A、C、D三點運動到x軸上時t的值，若是這三個值分別是α、β、γ，那么分三種情況：
①0＜t≤α時，正方形在x軸下方的是個小直角三角形；
②α＜t≤β時，正方形在x軸下方的是個梯形；
③β＜t≤γ時，正方形在x軸下方的是個五邊形，其面積可由正方形的面積減去x軸上方的小直角三角形得出．
（4）由前面兩小題可知道M、D兩點的坐標；由相似三角形：△ABO和△HBE可以求出點H的坐標，由于拋物線L₁沿直線AB移動，所以M→N與D→H的移動規(guī)律是相同的，可據此得出點N的坐標；由于點P在x軸上，所以MN只可能是平行四邊形的邊（若MN是對角線，那么點Q必在直線MN的上方，顯然不合題意），那么點Q的縱坐標可由M、N的縱坐標差的絕對值得出，在確定點Q的坐標后，根據M→N的平移規(guī)律即可得出點P的坐標．

解答：解：（1）由直線y=-

1

2

x+1知：A（0，1）、B（2，0）；
過D作DE⊥y軸于E；
在△ADE與△BAO中，

∠DAE=∠ABO=90°-∠OAB ∠AED=∠BOA=90° AD=AB

∴△ADE≌△BAO（AAS），
則：AE=OB=2，DE=OA=1；
∴OE=OA+AE=3，則：D（1，3）；
由于CD、AB是正方形的一組對邊，所以AB

∥

.

CD；
∵點A向下平移1個單位，再向右平移2個單位得B點，
∴點D向下平移1個單位，再向右平移2個單位得C點，即：C（3，2）；
綜上，C（3，2）、D（1，3）．

（2）易知A（0，1），設拋物線L₁的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），則有：

c=1 a+b+c=3 9a+3b+c=2

，
解得

a=- 5 6 b= 17 6 c=1

則：y=-

5

6

x²+

17

6

x+1．

（3）①當0＜t≤1時，如圖①
Rt△AOB中，tan∠ABO=

OA

OB

=

1

2

，
Rt△QFB中，tan∠QBF=tan∠ABO=

1

2

，BF=

5

t，
∴QF=tan∠QBF•BF=

5 t

2

；
則：S=

1

2

BF•QF=

1

2

•

5

t•

5 t

2

=

5t2

4

；
②當1＜t≤2時，如圖②，BF=

5

t，BE=

5

t-

5

；
∴PE=tan∠QBF•BE=

5 t- 5

2

，QF=

5 t

2

；
則：S=

1

2

（PE+QF）•EF=

5

4

（t-1+t）•

5

=

5

2

t-

5

4

；
③當2＜t≤3時，如圖③，
Rt△HQP中，tan∠HQP=tan∠QBF=

1

2

，
HP=HE-PE=

5

-

5 t- 5

2

=

3 5 - 5 t

2

；
∴HQ=

HP

tan∠HQP

=2HP=3

5

-

5

t；
則：S=S_{正方形EFGH}-S_△HPQ=（

5

）²-

(3 5 - 5 t)2

4

=-

5

4

t²+

15

2

t-

25

4

．

（4）∵∠ABO=∠HBE，∠AOB=∠HEB=90°，
∴△ABO∽△HBE，
得：

AB

BH

=

OA

HE

，即：

5

BH

=

1

5

，
解得：BH=5；
∴H（7，0）；
由D（1，3）、H（7，0）知，M向右平移6個單位，向下平移3個單位即可得到N點；
因為點P在x軸上，若以M、N、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形（MN只能是平行四邊形的邊），則點Q的縱坐標必為±3；
當點Q的縱坐標為3時，代入拋物線的解析式可得：Q（1，3）或（

12

5

，3），向右平移6個單位，向下平移3個單位得：P（7，0）或（

42

5

，0）；
當點Q的縱坐標為-3時，代入拋物線的解析式可得：Q（

17± 769

10

，-3），向左平移6個單位，向上平移3個單位得：P（

-43- 769

10

，0）或（

-43+ 769

10

，0）；
綜上，存在符合條件的P點，其坐標為（7，0）或（

42

5

，0）或（

-43- 769

10

，0）或（

-43+ 769

10

，0）．

點評：此題主要考查了二次函數解析式的確定、圖形面積的求法、相似三角形和全等三角形的應用、圖形的平移及其性質、平行四邊形的性質等綜合知識；（3）題中，一定要抓住圖形平移過程中的關鍵點，在對自變量的取值范圍進行界定時，一定要做到不重不漏；最后一題中，首先要判斷出MN是平行四邊形的邊或對角線，然后根據點M、N的坐標來確定P、Q的位置關系；總體來看，題目的難度較大．