Question

【題目】（本題滿(mǎn)分10分）（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)

如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A、D、E在同一直線(xiàn)上，連接BE，

填空：①∠AEB的度數(shù)為 ；

②線(xiàn)段AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系是 ．

（2）拓展探究

如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=900， 點(diǎn)A、D、E在同一直線(xiàn)上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE．請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)及線(xiàn)段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

（3）解決問(wèn)題如圖3，在正方形ABCD中，CD=．若點(diǎn)P滿(mǎn)足PD=1，且∠BPD=900，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)A到BP的距離．

Answer 1

【答案】（1）①60；②AD=BE；（2）∠AEB＝900；AE=2CM+BE，理由見(jiàn)試題解析；（3）或．

【解析】

試題分析：（1）由條件易證△ACD≌△BCE，從而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由點(diǎn)A，D，E在同一直線(xiàn)上可求出∠ADC，從而可以求出∠AEB的度數(shù)．

（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度數(shù)，證出AD=BE；由△DCE為等腰直角三角形及CM為△DCE中DE邊上的高可得CM=DM=ME，從而證到AE=2CH+BE．

（3）由PD=1可得：點(diǎn)P在以點(diǎn)D為圓心，1為半徑的圓上；由∠BPD=90°可得：點(diǎn)P在以BD為直徑的圓上．顯然，點(diǎn)P是這兩個(gè)圓的交點(diǎn)，由于兩圓有兩個(gè)交點(diǎn)，接下來(lái)需對(duì)兩個(gè)位置分別進(jìn)行討論．然后，添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)，借助于（2）中的結(jié)論即可解決問(wèn)題．

試題解析：（1）①如圖1，

∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．∴∠ACD=∠BCE．

在△ACD和△BCE中，∵AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠ADC=∠BEC．

∵△DCE為等邊三角形，∴∠CDE=∠CED=60°．

∵點(diǎn)A，D，E在同一直線(xiàn)上，∴∠ADC=120°，∴∠BEC=120°，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°．

故答案為：60°．

②∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE．故答案為：AD=BE．

（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM．

理由：如圖2，

∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE．

在△ACD和△BCE中，∵CA=CB，∠ACD=∠BCE，CD=CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．

∵△DCE為等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°．

∵點(diǎn)A，D，E在同一直線(xiàn)上，∴∠ADC=135°，∴∠BEC=135°，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．

∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME，

∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM，∴AE=AD+DE=BE+2CM．

（3）∵PD=1，∴點(diǎn)P在以點(diǎn)D為圓心，1為半徑的圓上．

∵∠BPD=90°，∴點(diǎn)P在以BD為直徑的圓上，∴點(diǎn)P是這兩圓的交點(diǎn)．

①當(dāng)點(diǎn)P在如圖3①所示位置時(shí)，

連接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足為H，

過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AP，交BP于點(diǎn)E，如圖3①．

∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADB=45°．AB=AD=DC=BC=，∠BAD=90°，∴BD=2．

∵DP=1，∴BP=．

∵A、P、D、B四點(diǎn)共圓，∴∠APB=∠ADB=45°，∴△PAE是等腰直角三角形．

又∵△BAD是等腰直角三角形，點(diǎn)B、E、P共線(xiàn)，AH⊥BP，∴由（2）中的結(jié)論可得：BP=2AH+PD．

∴=2AH+1，∴AH=；

②當(dāng)點(diǎn)P在如圖3②所示位置時(shí)，

連接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足為H，

過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AP，交PB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，如圖3②．

同理可得：BP=2AH﹣PD，∴=2AH﹣1，∴AH=．

綜上所述：點(diǎn)A到BP的距離為或．