Question

【題目】如圖，已知⊙O的直徑AB＝10，AC是⊙O的弦，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線(xiàn)DE交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥DE，垂足為D，與⊙O交于點(diǎn)F，設(shè)∠DAC，∠CEA的度數(shù)分別是α，β，且0°＜α＜45°．

（1）求β（用含α的代數(shù)式表示）；

（2）連結(jié)OF交AC于點(diǎn)G，若AG＝CG，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）β＝90°﹣2α；（2）

【解析】

（1）連接OC，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得到OC⊥DE，證明AD∥OC，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案；

（2）連接CF，證明平行四邊形AOCF為菱形，得到△AOF為等邊三角形，求出∠FAO=60°，根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．

（1）連接OC，

∵DE是⊙O的切線(xiàn)，

∴OC⊥DE，

∵AD⊥DE，

∴AD∥OC，

∴∠DAC＝∠ACO，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠ACO，

∴∠DAC＝∠OAC，

∴∠DAE＝2α，

∵∠D＝90°，

∴2α+β＝90°，

∴β＝90°﹣2α；

（2）連接CF，

∵OA＝OC，AG＝GC，

∴OF⊥AC，

∴FA＝FC，

∴∠FCA＝∠FAC＝∠CAO，

∴FC∥AO，又OC∥AD，

∴四邊形AOCF為平行四邊形，

∵OA＝OC，

∴平行四邊形AOCF為菱形，

∴AF＝OA＝OF，

∴△AOF為等邊三角形，

∴∠FAO＝60°，

∴∠AOC＝120°，

∴的長(zhǎng)＝．