Question

【題目】如圖，點(diǎn)P是∠MON內(nèi)的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PA⊥OM于點(diǎn)A，PB⊥ON于點(diǎn)B，且OA=OB．

（1）求證：PA=PB；

（2）如圖②，點(diǎn)C是射線AM上一點(diǎn)，點(diǎn)D是線段OB上一點(diǎn)，且∠CPD+∠MON=180°，若OC=8，OD=5．求線段OA的長(zhǎng)．

（3）如圖③，若∠MON=60°，將PB繞點(diǎn)P以每秒2°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，12秒后，PA開(kāi)始繞點(diǎn)P以每秒10°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，PA旋轉(zhuǎn)270°后停止，此時(shí)PB也隨之停止旋轉(zhuǎn)．旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，PA所在直線與OM所在直線的交點(diǎn)記為G，PB所在直線與ON所在直線的交點(diǎn)記為H．問(wèn)PB旋轉(zhuǎn)幾秒時(shí)，PG=PH？

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）OA=6.5；（3）滿(mǎn)足條件的t的值為15s或25s或37.5s．

【解析】

（1）如圖1中，連接OP，證明Rt△OPA≌Rt△OPB（HL）即可解決問(wèn)題．

（2）如圖②中，想辦法證明OC+OD=2OA即可解決問(wèn)題．

（3）設(shè)點(diǎn)P的旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒．分四種情形①當(dāng)0＜t＜12時(shí)，不存在．②當(dāng)12≤t＜21時(shí)，如圖3-1中．③當(dāng)21≤t＜30時(shí)，如圖3-2中．④當(dāng)30≤t＜39時(shí)，如圖3-3中，分別求解即可解決問(wèn)題．

（1）證明：如圖①中，連接OP．

∵PA⊥OM，PB⊥ON，

∴∠OAP=∠OBP=90°，

∵OA=OB，OP=OP，

∴Rt△OPA≌Rt△OPB（HL），

∴PA=PB．

（2）如圖②中，

∵∠PAO=∠PBO=90°，

∴∠AOB+∠APB=180°，

∵∠CPD+∠AOB=180°，

∴∠CPD=∠APB，

∴∠APC=∠BPD，

∵PA=PB，∠PAC=∠PBD=90°，

∴△PAC≌△PBD（ASA），

∴AC=BD，

∴OC+OD=OA+AC+OB-BD=2OA=13，

∴OA=6.5．

（3）設(shè)點(diǎn)P的旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒．

①當(dāng)0＜t＜12時(shí)，此時(shí)只有PB旋轉(zhuǎn)，PA沒(méi)有旋轉(zhuǎn)，故不存在PG=PH．

②當(dāng)PA旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為0°—90°時(shí)，時(shí)間t的取值為：12≤t＜21；

∴當(dāng)12≤t＜21時(shí)，如圖3-1中，∠APG=（10t-120）°，∠BPH=2t°，

當(dāng)∠APG=∠BPH時(shí)，△PAG≌△PBH，可得PG=PH，

此時(shí)10t-120=2t，

∴t=15．

③當(dāng)PA旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為90°—180°時(shí)，時(shí)間t的取值為：21≤t＜30，

∴當(dāng)21≤t＜30時(shí)，如圖3-2中，∠APG=180°-∠APA′=180°-（10t-120）°=（300-10t）°，∠BPH=2t，

當(dāng)∠APG=∠BPH時(shí)，△PAG≌△PBH，可得PG=PH，

此時(shí)300-10t=2t，

∴t=25．

④當(dāng)PA旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為180°—270°時(shí)，時(shí)間t的取值為：30≤t＜39；

當(dāng)30≤t＜39時(shí)，如圖3-3中，∠APG=（10t-300）°，∠BPH=2t，

當(dāng)∠APG=∠BPH時(shí)，△PAG≌△PBH，可得PG=PH，

此時(shí)10t-300=2t，

∴t=37.5；

綜上所述，滿(mǎn)足條件的t的值為15s或25s或37.5s．