Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+4x+n經過點A（1，0），與y軸交于點B．

（1）求拋物線的解析式和頂點坐標；

（2）若P是x軸上一點，且△PAB是以AB為腰的等腰三角形，試求P點坐標．（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=(x2)2+1，頂點坐標為(2，1)；

（2）P點的坐標為（﹣+1，0）或（+1，0）或（﹣1，0）．

【解析】試題分析：（1）將A點的坐標代入拋物線中，即可得出二次函數的解析式，把解析式換成頂點式即可求得頂點坐標．

（2）本題要分兩種情況進行討論：

①PA=AB，先根據拋物線的解析式求出B點的坐標，即可得出OB的長，進而可求出AB的長，也就知道了PB的長，由此可求出P點的坐標；

②PB=AB，此時P與A關于y軸對稱，由此可求出P點的坐標．

解：（1）∵拋物線y=﹣x2+4x+n經過點A（1，0）

∴n=﹣3

∴y=﹣x2+4x﹣3；

∵y=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1，

∴頂點坐標為（2，1）；

（2）∵拋物線的解析式為y=﹣x2+4x﹣3，

∴令x=0，則y=﹣3，

∴B點坐標（0，﹣3），AB=，

①當PA=AB時，PA=AB=，

∴OP=PA﹣OA=﹣1或OP=+1．

∴P（﹣+1，0）或（+1，0）；

②當PB=AB時，P、A關于y軸對稱，

∴P（﹣1，0）

因此P點的坐標為（﹣+1，0）或（+1，0）或（﹣1，0）．