Question

已知：如圖，∠C=2∠B，AC=

1

2

BC，AD為△ABC中BC邊上的中線．
（1）若AE⊥BC于E，請你判斷線段DE與BC之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）當(dāng)AD•AE=20時，求△ABD的面積．

Answer 1

分析：（1）作∠ACB的平分線CF交AB于F，連接FD，根據(jù)角平分線的定義以及等角對等邊的性質(zhì)可以證明BF=CF，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得∠CDF=90°，然后利用“邊角邊”證明△ACF和△DCF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠CAF=∠CDF=90°，從而∠ACB=60°，得到△ACD是等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得證；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，AD=CD=BD，然后根據(jù)三角形的面積公式可得S_△ABD=

1

2

BD•AE=

1

2

AD•AE，代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解．

解答：解：（1）線段DE與BC之間的數(shù)量關(guān)系是DE=

1

4

BC．
理由如下：如圖，作∠ACB的平分線CF，交AB于F，連接FD，
則∠1=∠2=

1

2

∠ACB，
∵∠ACB=2∠B，
∴∠2=∠B，
∴FB=FC（在一個三角形中，等角對等邊），
∴△BFC為等腰三角形（等腰三角形的定義），
∵D為BC邊上的中點，
∴∠CDF=90°（等腰三角形底邊上的中線與底邊上的高線互相重合），
∵AC=

1

2

BC，
∴BD=DC=AC，
在△ACF和△DCF中，

AC=DC ∠1=∠2 CF=CF

，
∴△ACF≌△DCF（SAS），
∴∠CAF=∠CDF=90°（全等三角形對應(yīng)角相等），
∴∠1+∠2+∠B=90°，
即3∠1=90°，
解得∠1=30°，
∴∠ACB=60°，
又∵AC=CD，
∴△ADC為等邊三角形（有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形）．
∵AE⊥BC于E，
∴DE=

1

2

DC（等腰三角形底邊上的高線與底邊上的中線互相重合）．
∴DE=

1

2

DC=

1

2

×

1

2

BC=

1

4

BC；

（2）由（1）可得AD=CD=BD，
∵AD•AE=20，
∴S_△ABD=

1

2

BD•AE=

1

2

AD•AE=

1

2

×20=10．
答：△ABD的面積為10．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，證明得到∠CAF=90°，從而求出∠ACB的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．