Question

（1）已知矩形A的長、寬分別是2和1，那么是否存在另一個矩形B，它的周長和面積分別是矩形A的周長和面積的2倍對上述問題，小明同學從“圖形”的角度，利用函數(shù)圖象給予了解決．小明論證的過程開始是這樣的：如果用x、y分別表示矩形的長和寬，那么矩形B滿足x+y=6，xy=4．請你按照小明的論證思路完成后面的論證過程；
（2）已知矩形A的長和寬分別是2和1，那么是否存在一個矩形C，它的周長和面積分別是矩形A的周長和面積的一半？小明認為這個問題是肯定的，你同意小明的觀點嗎？為什么？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的交點的性質(zhì)可知，一次函數(shù)y=-x+6的圖象與反比例函數(shù)y=

4

x

聯(lián)立方程組可知，有解，所以這樣的交點存在，即滿足要求的矩形B存在．
（2）如果用x，Y分別表示矩形的長和寬，那么矩形C滿足x+y=

3

2

，xy=1，而滿足要求的（x，y）可以看作一次函數(shù)y=-x+

3

2

的圖象與反比例函數(shù)y=

1

x

的圖象在第一象限內(nèi)交點的坐標．畫圖或聯(lián)立方程組可知，這樣的交點不存在，即滿足要求的矩形C是不存在的．

解答：解：（1）點（x，y）可以看作一次函數(shù)y=-x+6的圖象在第一象限內(nèi)點的坐標，
點（x，y）又可以看作反比例函數(shù)y=

4

x

的圖象在第一象限內(nèi)點的坐標，
而滿足問題要求的點（x，y）就可以看作一次函數(shù)y=-x+6的圖象與反比例函數(shù)y=

4

x

的圖象在第一象限內(nèi)交點的坐標．
分別畫出兩圖象（如右圖），從圖中可看出，這樣的交點存在，即滿足要求的矩形B存在．

（2）不同意小明的觀點．
如果用x，y分別表示矩形的長和寬，
那么矩形C滿足x+y=

3

2

，xy=1，
而滿足要求的（x，y）可以看作一次函數(shù)y=-x+

3

2

的圖象與反比例函數(shù)y=

1

x

的圖象在第一象限內(nèi)交點的坐標．
畫圖（如右圖）可看出，這樣的交點不存在，即滿足要求的矩形C是不存在的．
所以不同意小明的觀點．

點評：主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運用．解題的關(guān)鍵是會靈活的運用函數(shù)圖象交點的意義，以及圖象的特點，試題中貫穿了方程思想和數(shù)形結(jié)合的思想，請注意體會．