Question

如圖，AC是⊙O的直徑，PA切⊙O于點(diǎn)A，點(diǎn)B是⊙O上的一點(diǎn)，且∠BAC=30°，∠APB=60°．
（1）求證：PB是⊙O的切線(xiàn)；
（2）若⊙O的半徑為2，求弦AB及PA，PB的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：連接OB．
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠BAC=30°． （1分）
∴∠AOB=180°-30°-30°=120°． （2分）
∵PA切⊙O于點(diǎn)A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°．
∵四邊形的內(nèi)角和為360°，
∴∠OBP=360°-90°-60°-120°=90°． （3分）
∴OB⊥PB．
又∵點(diǎn)B是⊙O上的一點(diǎn)，
∴PB是⊙O的切線(xiàn)． （4分）

（2）連接OP；
∵PA、PB是⊙O的切線(xiàn)，
∴PA=PB，∠OPA=∠OPB=

1

2

∠APB=30°． （5分）
在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∠OPA=30°，
∴OP=2OA=2×2=4，（6分）
∴PA=

OP2-OA2

=

42-22

=2

3

． （7分）
∵PA=PB，∠APB=60°，
∴PA=PB=AB=2

3

． （8分）
（此題解法多樣，請(qǐng)?jiān)u卷老師按解題步驟給分）