Question

（2012•葫蘆島）如圖，四邊形ABCD是正方形，其中A（1，1），B（3，1），D（1，3）．反比例函數(shù)y=

m

x

(x＞0)的圖象經(jīng)過(guò)對(duì)角線BD的中點(diǎn)M，與BC，CD的邊分別交于點(diǎn)P、Q．
（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)M，C的坐標(biāo)；
（2）求直線BD的解析式；
（3）線段PQ與BD是否平行？并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）直接根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；再根據(jù)點(diǎn)B與點(diǎn)C的橫坐標(biāo)相同，點(diǎn)C與點(diǎn)D的縱坐標(biāo)相同即可求出C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，由已知B（3，1），D（1，3），再把B、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求出k、b的值，進(jìn)而得出結(jié)論；
（3）先根據(jù)反比例函數(shù)y=

m

x

過(guò)點(diǎn)M（2，2）可求出m的值，由此可求出點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，故可得出CP=CQ=

5

3

，即∠CPQ=45°，再由直線BD是正方形ABCD的對(duì)角線可知∠CBD=45°，故∠CPQ=∠CBD，進(jìn)而可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵點(diǎn)M是線段B、D的中點(diǎn)，B（3，1），D（1，3），
∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為：

3+1

2

=2，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為：

1+3

2

=2，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，2），
∵四邊形ABCD是正方形，
∴點(diǎn)B與點(diǎn)C的橫坐標(biāo)相同，點(diǎn)C與點(diǎn)D的縱坐標(biāo)相同即可求出C點(diǎn)坐標(biāo)；
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，3）；

（2）設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，
∵B（3，1），D（1，3）在直線BD上，
∴

1=3k+b 3=k+b

，解得

k=-1 b=4

．
∴直線BD的解析式為y=-x+4；

（3）PQ∥BD．理由如下：
∵反比例函數(shù)y=

m

x

(x＞0)的圖象經(jīng)過(guò)M（2，2），
∴2=

m

2

，解得m=4．
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

4

x

．
∵反比例函數(shù)y=

4

x

的圖象與BC交于點(diǎn)P，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3，當(dāng)x=3時(shí)，y=

4

3

．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，

4

3

）．
同理點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（

4

3

，3）．
∴CP=CQ=

5

3

．
∴∠CPQ=45°．
又∵∠CBD=45°，
∴∠CPQ=∠CBD．
∴PQ∥BD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到正方形的性質(zhì)、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及反比例函數(shù)的解析式等知識(shí)，難度適中．