Question

已知：如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，A是弧BD的中點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)的切線與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．
（1）求證：AB•DA=CD•BE；
（2）若點(diǎn)E在CB延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A在弧BD上運(yùn)動(dòng)，使切線EA變?yōu)楦罹�EFA，其它條件不變，問(wèn)具備什么條件使原結(jié)論成立？（要求畫(huà)出示意圖，注明條件，不要求證明）

Answer 1

分析：（1）點(diǎn)A是弧BD的中點(diǎn)，根據(jù)弦切角定理和圓周角定理知∠1=∠3，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)知∠ABE=∠D，于是有△ABE∽△CDA?

AB

CD

=

BE

DA

?AB•DA=CD•BE；
（2）要使結(jié)論仍然成立，則應(yīng)有△ABE∽△CDA，故可使

BF

=

DA

．當(dāng)

BF

=

DA

時(shí)有∠EAB=∠ACD，而由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)知∠ABE=∠ADC，故有△ABE∽△CDA，得

AB

CD

=

BE

DA

?AB•DA=CD•BE

解答：（1）證明：連接AC
∵A是

BD

的中點(diǎn)，
∴

AB

=

AD

．
∵EA切⊙O于點(diǎn)A，點(diǎn)C在⊙O上，
∴∠1=∠3=∠2
∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠ABE=∠D
∴△ABE∽△CDA
∴

AB

CD

=

BE

DA

∴AB•DA=CD•BE．

（2）解：
如圖，具備條件

BF

=

DA

（BF=DA，或∠BCF=∠DCA，或∠BAF=∠DCA，或FA∥BD等），使原結(jié)論成立

點(diǎn)評(píng)：本題利用了弦切角定理、圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)求解．