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        1. 已知,如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,點(diǎn)D是AC的中點(diǎn),⊙O經(jīng)過B,C,D三點(diǎn),與AB精英家教網(wǎng)交于另一點(diǎn)E.
          (1)請你仔細(xì)觀察圖形,連接圖中已表明字母的某兩點(diǎn),得到一條新線段,證明它與線段AE相等;
          (2)在圖中,過點(diǎn)E作⊙O的切線,交AD于點(diǎn)F;
          ①求證:EF2=FD•FC;
          ②若AF=DF,求sinA的值.
          分析:(1)本題可利用點(diǎn)D是AC中點(diǎn)的條件進(jìn)行求解;連接CE、DE;由∠ABC=90°知:CE必為⊙O的直徑;則DE⊥AC,又D是AC的中點(diǎn),因此DE垂直平分AC,因此CE和AE相等.
          (2)欲證EF2=FD•FC,即證
          EF
          FD
          =
          FC
          EF
          ,則證明△CEF∽△EDF即可.
          (3)由(1)知:∠A=∠ACE,因此只需在RT△CEF中求出sin∠ACE的值即可.
          解答:精英家教網(wǎng)解:(1)連接CE;
          證明:連接DE;
          ∵∠ABC=90°,
          ∴CE是⊙O的直徑;
          ∴∠CDE=90°;
          又∵AD=CD,
          ∴AE=CE.
          (還可以連接OD,利用中位線定理證AE等于⊙O的直徑,或連接BD,利用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”證AD=BD,∠A=∠DBA,∠DBA=∠ACE)

          (2)①證明:∵EF是⊙O的切線,
          ∴EF⊥EC;
          ∴△CEF∽△EDF;
          EF
          FD
          =
          FC
          EF
          ,即EF2=FD•FC.

          ②∵AF=DF,AD=CD,
          ∴FD=
          1
          3
          FC,∴EF2=
          1
          3
          FC2;
          EF
          FC
          =
          3
          3

          ∴sin∠ACE=
          3
          3
          ;
          又∵EA=EC,
          ∴∠ACE=∠A;
          ∴sin∠A=
          3
          3
          點(diǎn)評:本題考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識,涉及的知識點(diǎn)較多,綜合性較強(qiáng).
          練習(xí)冊系列答案
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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)已知:如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,過點(diǎn)B作BD∥AC,且BD=2AC,連接AD.試判斷△ABD的形狀,并說明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (1997•陜西)已知,如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,以AC為直徑的⊙O交斜邊AB于E,OD∥AB.求證:①ED是⊙O的切線;②2DE2=BE•OD.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•豐臺區(qū)一模)已知:如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D,E是BC的中點(diǎn),連結(jié)DE.
          (1)求證:DE與⊙O相切;
          (2)連結(jié)OE,若cos∠BAD=
          3
          5
          ,BE=
          14
          3
          ,求OE的長.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知:如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=8,點(diǎn)D在斜邊AB上,分別作DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分別為E、F,得四邊形DECF,設(shè)DE=x,DF=y.
          (1)求出cosB的值;
          (2)用含y的代數(shù)式表示AE;
          (3)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出x的取值范圍;
          (4)設(shè)四邊形DECF的面積為S,求出S的最大值.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知,如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=15,BC=20,求斜邊AB上的高CD.

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          同步練習(xí)冊答案