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        1. 在平面直角坐標系xOy中,已知二次函數(shù)y=ax2-2ax+c(a≠0)的圖象與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左邊),AB=4,與y軸交于點C,且過點(2,3).
          (1)求此二次函數(shù)的表達式;
          (2)若拋物線的頂點為D,連接CD、CB,問拋物線上是否存在點P,使得∠PBC+∠BDC=90°?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由;
          (3)點K為拋物線上C關(guān)于對稱軸的對稱點,點G拋物線上的動點,在x軸上是否存在點F,使A、K、F、G這樣的四個點為頂點的四邊形是平行四邊形?如果存在,求出所有滿足條件的F點坐標;如果不存在,請說明理由.
          分析:(1)拋物線的解析式中,二次項和一次項系數(shù)都含有相同的未知數(shù),可先確定拋物線的對稱軸,而AB的長已知,可據(jù)此確定點A、B的坐標;再根據(jù)已知點(2,3)可求出拋物線的解析式.
          (2)首先求出點B、C、D三點坐標,此時發(fā)現(xiàn)△BDC恰好是直角三角形,且DC⊥BC,那么點D正好符合點P的要求;顯然在直線BC下方還有一個符合條件的點P,可將點B視作頂角頂點、BD為腰作一個等腰三角形(此時可在直線BC下方作出一個與∠DBC相等的角),先確定第三個頂點的坐標,求出此點所在腰的直線解析式后聯(lián)立拋物線即可求出另一點P.
          (3)根據(jù)拋物線的對稱性,不難確定點K的坐標.由題意,A、F都在x軸上,所以無論AF是邊還是對角線,點G的縱坐標必為3或-3(與K相同或互為相反數(shù)),先代入拋物線確定出點G的坐標后,再根據(jù)A、K的坐標和平行四邊形的特點確定點F的坐標.
          解答:解:(1)拋物線的對稱軸:x=-
          b
          2a
          =-
          -2a
          2a
          =1,且AB=4,則 A(-1,0)、B(3,0);
          再代入點(2,3)后,可得:
          a+2a+c=0
          4a-4a+c=3
          ,解得
          a=-1
          c=3

          ∴二次函數(shù)的表達式:y=-x2+2x+3.

          (2)由(1)知:y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,則 D(1,4);
          BC2=18、CD2=2、BD2=20,∴BC2+CD2=BD2,即△BCD是直角三角形,且DC⊥BC.
          ∴∠BDC+∠DBC=90°,即點D符合點P的要求,P1(1,4).
          延長DC至E,使得DC=CE,則△BDE是等腰三角形,且∠DBC=∠EBC,則直線BE與拋物線的交點也符合點P的要求(B點除外)
          通過圖示,不難看出 點D、E關(guān)于點C對稱,則 E(-1,2),設(shè)直線BE:y=kx+b,則有:
          3k+b=0
          -k+b=2
          ,解得
          k=-
          1
          2
          b=
          3
          2

          ∴直線BE:y=-
          1
          2
          x+
          3
          2
          ,聯(lián)立拋物線的解析式后,得:
          y=-
          1
          2
          x+
          3
          2
          y=-x2+2x+3
          ,解得
          x1=3
          y1=0
          (舍)、
          x2=-
          1
          2
          y2=
          7
          4

          ∴P2(-
          1
          2
          7
          4
          );
          綜上,存在符合條件的點P,且坐標為(1,4)、(-
          1
          2
          ,
          7
          4
          ).

          (3)易知點K(2,3);
          由題意,A、F都在x軸上,根據(jù)平行四邊形的特點不難看出點G的縱坐標為3或-3;
          當yG=3時,-x2+2x+3=3,解得 x=0或2,
          ∴G點坐標為(0,3),
          此時點F的坐標為(-1-2,0)或(-1+2,0),即(-3,0)、(1,0);
          當yG=-3時,-x2+2x+3=-3,解得 x=1±
          7

          ∴G點坐標為(1+
          7
          ,-3)或(1-
          7
          ,-3),
          此時點F的坐標為(4+
          7
          ,0)、(4-
          7
          ,0);
          綜上,有四個符合條件的點F,且坐標為(-3,0)、(1,0)、(4+
          7
          ,0)、(4-
          7
          ,0).
          點評:此題主要考查的知識點有:利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式、直角三角形與等腰三角形的判定和性質(zhì)以及平行四邊形的判定和性質(zhì);(2)題中,判斷出△BCD的形狀是解題的關(guān)鍵;最后一題需要分類進行討論,以免出現(xiàn)漏解的情況.
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          (3)點P在y軸上,點M在此拋物線上,若要使以點P、M、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形,請你直接寫出點M的坐標.

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