Question

【題目】如圖，直線 分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)C坐標(biāo)為（6,0），若直線AB上存在點(diǎn)P，使∠OPC=90°，則m的取值范圍是。

Answer 1

【答案】
【解析】解 ：如圖 ：

要使∠OPC=90，則直線AB必經(jīng)過(guò)以O(shè)C為直徑的圓，
如圖直線AB切圓于P,
∴∠MPA=90°
∵點(diǎn)C(6,0)，
∴OC=6，
∴OM=PM=3，
∵直線y=x+m，
∴ A（,0）; B(0,m);
∴OA=,OB=m;
∴OB∶OA=2∶3，
∵∠OAB=∠PAM,∠AOB=∠APM=90，
∴△AOB∽△APM，
∴PM∶PA=OB∶OA=2∶3，
∴PA=，
∴MA=
∴OA=3+或3-
∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m；
∴=3+或 =3-
∴m=2+或m=2-
∴m的取值范圍是2+≤m≤2-
故答案為 :2+≤m≤ 2-.
要使∠OPC=90，則直線AB必經(jīng)過(guò)以O(shè)C為直徑的圓，如圖直線AB切圓于P,根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠MPA=90°，由C點(diǎn)的坐標(biāo)得出OC=6，進(jìn)而得出OM=PM=3，根據(jù)直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的特點(diǎn)得出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出OA,OB的長(zhǎng)度，從而得出OB,與OA的比值，再判斷出△AOB∽△APM，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出PM∶PA=OB∶OA=2∶3，進(jìn)而求出PA,MA,OA的長(zhǎng)度，根據(jù)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，得出關(guān)于m的方程，求解得出m的值，進(jìn)而就求出m的取值范圍。