Question

【題目】如圖，CD為⊙O的直徑，AB，AC為弦，且∠ADC=∠DAB+∠ACD，AB交CD于E點(diǎn)．

（1）求證：AB=AC．

（2）DF為切線，若DE=2，CE=10，求cos∠ADF的值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）根據(jù)圓周角定理即以及等腰三角形的判定即可求出答案．

（2）連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G，連接BD，根據(jù)切線的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案．

（1）由圓周角定理可知：∠ADC=∠B，∠DAB=∠DCB，

∵∠ADC=∠DAB+∠ACD，

∴∠ADC=∠DCB+∠ACD，

∴∠B=∠ACB，

∴AB=AC．

（2）連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G，連接BD，

∵DF為切線，

∴∠CDF=90°，

∴∠ADF=∠ACD，

∵DE=2，CE=10，

∴CD=12，

∴OD=OA=6，

∴OE=OD﹣DE=4，

∵CD是⊙O的直徑，

∴∠DAC=∠DBC=90°，

∴BD∥AG，

∴△BDE∽△AOE，

∴，

∴BD=3，

∵OG是△BCD的中位線，

∴OG=，

在Rt△OCG中，

由勾股定理可知：CG=，

在Rt△AGC中，

由勾股定理可知：AC=3，

∴cos∠ADF=cos∠ACD=．