Question

如圖13，已知直線y=4-x與反比例函數(shù)y= (m>0,x>0)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，與x軸、y軸分別相交于C、D兩點(diǎn).

(1)如果點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，利用函數(shù)圖象求關(guān)于x的不等式4-x<的解集；

(2)是否存在以AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)P(1,0)？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

解：（1）∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)A在直線

y=4-x 的圖象上，y=4-1=3,

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，3），

點(diǎn)A在反比例函數(shù)y= (m>0,x>0)的圖象的

圖象上，m = xy =3 ,

     ∵點(diǎn)A、B是直線y=4-x與反比例函數(shù)

y= (x>0)的圖象的交點(diǎn)，∴4-x= ,

解得x=1或x=3,點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為3，∴4-x< 的解集為  x<1或x>3 。

（2）存在以AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)P(1,0)。

連結(jié)AP、BP，分別過點(diǎn)A、B作x軸的垂線AE、BF，垂足分別為點(diǎn)E、F。

4-x=,x²-4x+m=0, 令a、b是該方程的解，則a + b = 4, b = 4 – a ，

令點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a,4-a），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4-a,a）；

以AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)P（1，0），則∠APB=90º，

∠APB+∠EPA+∠FPB=180 º ，∠EPA+∠FPB=90º，∵AE⊥x軸，BF⊥x軸，

∴∠AEP=∠PFB=90º，∠EAP+∠EPA=90º，∠EPA=∠FPB，△AEP∽△PFB，

= , = ,   a=2+     或    a=2-

4-a=2-         4-a=2+ ，

∵點(diǎn)A（2+ ，2- ） 或（2- ，2+ ）在反比例函數(shù)

y= (m>0,x>0)的圖象上，∴ m =(2+ )(2- )= .