Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)B（0，3），點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長度，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿AO方向向點(diǎn)O勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位長度，連接PQ．若設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（0＜t＜2）．
（1）求直線AB的解析式；
（2）設(shè)△AQP的面積為y，求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）是否存在某一時(shí)刻t，使線段PQ恰好把△AOB的周長和面積同時(shí)平分？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（4）連接PO，并把△PQO沿QO翻折，得到四邊形PQP′O，那么是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形PQP′O為菱形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)和菱形的邊長；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式．
（2）三角形APQ中，底邊AQ的長易知，關(guān)鍵是求P點(diǎn)縱坐標(biāo)的值；過P作PM⊥OA于M，通過構(gòu)建的相似三角形得出的成比例線段，可求出PM的長．進(jìn)而可根據(jù)三角形的面積公式求出y，t的函數(shù)關(guān)系式．
（3）可用分析法求解．先假設(shè)存在這樣的t值，由于此時(shí)PQ將三角形ABO的周長平分，因此BP+BO+OQ=AP+AQ，據(jù)此可求出t的值，然后將t的值，代入（2）的函數(shù)關(guān)系式中，看此時(shí)三角形APQ的面積是否等于三角形AOB的面積的一半即可．
（4）如果四邊形OPQP′是菱形，那么需要滿足的條件是OP=PQ，那么PM垂直平分OQ，此時(shí)QM=OQ，可借助OA的長來求t的值．過P作PN⊥OB于N，那么三角形BNP和三角形BOA相似，可求得PN的表達(dá)式，也就求出了QM，MO的表達(dá)式，可根據(jù)OA=OM+QM+AQ來求出此時(shí)t的值．進(jìn)而可求出菱形的邊長．

解答：解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
∴

4k+b=0 b=3

解得

k=- 3 4 b=3

，
∴直線AB的解析式是y=-

3

4

x+3．

（2）在Rt△AOB中，AB=

BO2+AO2

=5，
依題意，得BP=t，AP=5-t，AQ=2t，
過點(diǎn)P作PM⊥AO于M，
∵△APM∽△ABO，
∴

PM

BO

=

AP

AB

，
∴

PM

3

=

5-t

5

，
∴PM=3-

3

5

t，
∴y=

1

2

AQ•PM=

1

2

•2t•（3-

3

5

t）=-

3

5

t²+3t．

（3）不存在某一時(shí)刻t，使線段PQ恰好把△AOB的周長和面積同時(shí)平分，
若PQ把△AOB周長平分，則AP+AQ=BP+BO+OQ，
∴（5-t）+2t=t+3+（4-2t），
解得t=1．
若PQ把△AOB面積平分，則S_△APQ=

1

2

S_△AOB，
∴-

3

5

t²+3t=3，
∵t=1代入上面方程不成立，
∴不存在某一時(shí)刻t，使線段PQ把△AOB的周長和面積同時(shí)平分．

（4）存在某一時(shí)刻t，使四邊形PQP'O為菱形，
過點(diǎn)P作PN⊥BO于N，
若四邊形PQP′O是菱形，則有PQ=PO，
∵PM⊥AO于M，
∴QM=OM，
∵PN⊥BO于N，可得△PBN∽△ABO，
∴

PN

AO

=

PB

AB

，
∴

PN

4

=

t

5

，
∴PN=

4

5

t，
∴QM=OM=

4

5

t，
∴

4

5

t+

4

5

t+2t=4，
∴t=

10

9

，
∴當(dāng)t=

10

9

時(shí)，四邊形PQP′O是菱形，
∴OQ=4-2t=

16

9

，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（

16

9

，0）．
∵PM=3-

3

5

t=

7

3

，OM=

4

5

t=

8

9

，
在Rt△PMO中，PO=

PM2+OM2

=

49 9 + 64 81

=

505

9

，
∴菱形PQP′O的邊長為

505

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法、相似三角形的應(yīng)用、菱形的判定和性質(zhì)等知識(shí)．綜合性強(qiáng)，難度較大．