Question

如圖，在等邊△ABC中，D、E、F是三邊中點(diǎn)．在圖中可以數(shù)出的三角形中，任選一對(duì)三角形（不計(jì)順序），如果這2個(gè)三角形至少有一條邊相等，便稱(chēng)之為一對(duì)“友好三角形”．那么，從圖中選出“友好三角形”共有（　　）

• A、120對(duì)
• B、240對(duì)
• C、234對(duì)
• D、114對(duì)

Answer 1

分析：把題中的所有三角形按大小分為4類(lèi)，表示出相應(yīng)的邊長(zhǎng)，排除不是“友好三角形”的對(duì)數(shù)，讓總對(duì)數(shù)減去不是“友好三角形”的對(duì)數(shù)即可得到所求．

解答：解：原圖中有4類(lèi)三角形．若設(shè)AB=6，則AE=3，AD=3

3

，AO=2

3

，OD=

3

，那么4類(lèi)三角形的邊長(zhǎng)（按自小到大的順序排列）為

3

，3，2

3

；2

3

，2

3

，6；3，3

3

，6；6，6，6．
若把這些三角形分為a，b，c，d共4類(lèi)．可得：
a，b，c3類(lèi)的三角形，任取2個(gè)，必有一條邊相等；
b，c，d類(lèi)的三角形，任取2個(gè)，也必有一條邊相等；
只有a類(lèi)和d類(lèi)的三角形沒(méi)有相等的邊，這種情形的三角形共有6對(duì)，是非“友好三角形”．
∵圖中共有16個(gè)三角形，任意取2個(gè)后，不考慮順序應(yīng)有16×15÷2=120種選取方法，
∴“友好三角形”共有120-6=114對(duì)．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：主要考查乘法原理的應(yīng)用；把所給三角形合理進(jìn)行分類(lèi)，根據(jù)所給定義判斷“友好三角形”是解決本題的突破點(diǎn)．