Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=－2x+42交x軸與點A,交直線y=x于點B,拋物線分別交線段AB、OB于點C、D，點C和點D的橫坐標分別為16和4，點P在這條拋物線上．

（1）求點C、D的縱坐標．

（2）求a、c的值．

（3）若Q為線段OB上一點，且P、Q兩點的縱坐標都為5，求線段PQ的長．

（4）若Q為線段OB或線段AB上的一點，PQ⊥x軸，設(shè)P、Q兩點之間的距離為d（d＞0），點Q的橫坐標為m，直接寫出d隨m的增大而減小時m的取值范圍．

（參考公式：二次函數(shù)圖像的頂點坐標為）

 

Answer 1

【答案】

（1）C的縱坐標為10，D的縱坐標為4（2），10（3）或（4）0≤m＜4或12≤m＜16

【解析】解：（1）∵點C在直線AB：y=－2x+42上，且C點的橫坐標為16，

∴y=－2×16+42=10，即點C的縱坐標為10。

∵D點在直線OB：y=x上，且D點的橫坐標為4，∴點D的縱坐標為4。

（2）由（1）知點C的坐標為（16，10），點D的坐標為（4，4），

∵拋物線經(jīng)過C、D兩點，

∴，解得：。∴拋物線的解析式為。

（3）∵P為線段OB上一點，縱坐標為5，∴P點的橫坐標也為5。

∵點Q在拋物線上，縱坐標為5，∴，解得。

當(dāng)點Q的坐標為（，5），點P的坐標為（5，5），線段PQ的長為；

當(dāng)點Q的坐標為（ ，5），點P的坐標為（5，5），線段PQ的長為。

所以線段PQ的長為或。

（4）當(dāng)0≤m＜4或12≤m＜16時，d隨m的增大而減小。

（1）點C在直線AB：y=－2x+42上，將C點的橫坐標，代入即可求出C點的縱坐標，同理可知：D點在直線OB：y=x上，將D點的橫坐標，代入解析式即可求出D點的縱坐標。

（2）拋物線經(jīng)過C、D兩點，列出關(guān)于a和c二元二次方程組，解出a和c即可。

（3）根據(jù)Q為線段OB上一點，P、Q兩點的縱坐標都為5，則可以求出Q點的坐標，又知P點在拋物線上，求出P點的坐標即可，P、Q兩點的橫坐標的差的絕對值即為線段PQ的長。

（4）根據(jù)PQ⊥x軸，可知P和Q兩點的橫坐標相同，求出拋物線的頂點坐標和B點的坐標，①當(dāng)Q是線段OB上的一點時，結(jié)合圖形寫出m的范圍，②當(dāng)Q是線段AB上的一點時，結(jié)合圖形寫出m的范圍即可：

根據(jù)題干條件：PQ⊥x軸，可知P、Q兩點的橫坐標相同，

∵拋物線y=，∴頂點坐標為（8，2）。

聯(lián)立，解得點B的坐標為（14，14）。

①當(dāng)點Q為線段OB上時，如圖所示，

當(dāng)0≤m＜4或

12≤m≤14時，d隨m的增大而減小；

②當(dāng)點Q為線段AB上時，如圖所示，當(dāng)14≤m＜16時，d隨m的增大而減小。

綜上所述，當(dāng)0≤m＜4或12≤m＜16時，d隨m的增大而減小。