Question

（1）如圖，已知點(diǎn)C在線段AB上，且AC=6cm，BC=4cm，點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，求線段MN的長度；
（2）若點(diǎn)C是線段AB上任意一點(diǎn)，且AC=a，BC=b，點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，請直接寫出線段MN的長度；（用a、b的代數(shù)式表示）
（3）在（2）中，把點(diǎn)C是線段AB上任意一點(diǎn)改為：點(diǎn)C是直線AB上任意一點(diǎn)，其他條件不變，則線段MN的長度會(huì)變化嗎？若有變化，求出結(jié)果．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，先求出CM、CN的長度，則MN=CM+CN；
（2）根據(jù)點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，CM=

1

2

AC，CN=

1

2

BC，所以MN=

1

2

（AC+BC）=

a+b

2

；
（3）長度會(huì)發(fā)生變化，分點(diǎn)C在線段AB上、點(diǎn)B在A、C之間和點(diǎn)A在B、C之間三種情況討論．

解答：解：（1）∵AC=6cm，點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)
∴CM=

1

2

AC=3cm
∵BC=4cm，點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)
∴CN=

1

2

BC=2cm
∴MN=CM+CN=5cm
∴線段MN的長度為5cm．（4分）

（2）MN=

a+b

2

．（6分）

（3）線段MN的長度會(huì)變化．（7分）
當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，由（2）知MN=

a+b

2

（8分）
當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長線時(shí)，如圖：

則AC=a＞BC=b
∵AC=a點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)
∴CM=

1

2

AC=

1

2

a
∵BC=b點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)
∴CN=

1

2

BC=

1

2

b
∴MN=CM-CN=

a-b

2

（9分）
當(dāng)點(diǎn)C在線段BA的延長線時(shí)，如圖：

則AC=a＜BC=b
同理可求：CM=

1

2

AC=

1

2

a
CN=

1

2

BC=

1

2

b
∴MN=CN-CM=

b-a

2

（10分）
∴綜上所述，線段MN的長度會(huì)變化，MN=

a+b

2

，

a-b

2

，

b-a

2

．

點(diǎn)評：本題主要是線段中點(diǎn)的運(yùn)用，分情況討論是解題的難點(diǎn)，難度較大．