Question

23、如圖1，在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF．
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，
①當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖2，線段CF、BD所在直線的位置關系為

垂直

，線段CF、BD的數量關系為

相等

；
②當點D在線段BC的延長線上時，如圖3，①中的結論是否仍然成立，并說明理由；
（2）如果AB≠AC，∠BAC是銳角，點D在線段BC上，當∠ACB滿足什么條件時，CF⊥BC（點C、F不重合），并說明理由．

Answer 1

分析：（1）當點D在BC的延長線上時①的結論仍成立．由正方形ADEF的性質可推出△DAB≌△FAC，所以CF=BD，∠ACF=∠ABD．結合∠BAC=90°，AB=AC，得到∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度．即CF⊥BD．
（2）當∠ACB=45°時，過點A作AG⊥AC交CB或CB的延長線于點G，則∠GAC=90°，可推出∠ACB=∠AGC，所以AC=AG，由（1）①可知CF⊥BD．

解答：證明：（1）①結合∠BAC=90°，AB=AC，得到∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度．即CF⊥BD．當點D在BC的延長線上時①的結論仍成立．由正方形ADEF的性質可推出△DAB≌△FAC，所以CF=BD．
②當點D在BC的延長線上時①的結論仍成立．
由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90度．
∵∠BAC=90°，
∴∠DAF=∠BAC，
∴∠DAB=∠FAC，
又AB=AC，
∴△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，∠ACF=∠ABD．
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∴∠ACF=45°，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度．
即CF⊥BD．

（2）當∠ACB=45°時，CF⊥BD（如圖）．
理由：過點A作AG⊥AC交CB或CB的延長線于點G，
則∠GAC=90°，
∵∠ACB=45°，∠AGC=90°-∠ACB，
∴∠AGC=90°-45°=45°，
∴∠ACB=∠AGC=45°，
∴AC=AG，
∵∠DAG=∠FAC（同角的余角相等），AD=AF，
∴△GAD≌△CAF，
∴∠ACF=∠AGC=45°，
∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，即CF⊥BC．

點評：本題考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定兩個三角形全等，先根據已知條件或求證的結論確定三角形，然后再根據三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．