Question

已知一拋物線經(jīng)過（0，0），（1，1）兩點，且解析式的二次項系數(shù)為
（＞0）.
【小題1】當時，求該拋物線的解析式，并用配方法求出該拋物線的頂點坐標；
【小題2】已知點（0，1），若拋物線與射線相交于點，與軸相交于點（異于原點），當在什么范圍內(nèi)取值時，的值為常數(shù)？當在什么范圍內(nèi)取值時，的值為常數(shù)？
【小題3】若點（，）在拋物線上，則稱點為拋物線的不動點.將這條拋物線進行平移，使其只有一個不動點，此時拋物線的頂點是否在直線上，請說明理由.

Answer 1

【小題1】設該拋物線的解析式為，
∵拋物線經(jīng)過（0，0）、（1，1）兩點，
∴，解得.
∴該拋物線的解析式為 ………………………………………1分
（Ⅰ）當時，該拋物線的解析式為  …………………………2分
.
該拋物線的頂點坐標為（1，1）            . ……………………………………3分
【小題2】∵點在軸上，∴點的縱坐標為0.
當時，有，解得，.
∵點異于原點，∴點的坐標為（，0）.∴ ………………4分
∵點在射線上，∴點的縱坐標為1.
當時，有，，
解得，.
點的坐標為（1，1）或（，1）           . ……………………………5分
當點的坐標為（1，1）時，與重合，此時，，.
與的值都是常數(shù)2.
當點的坐標為（，1）時，
若點在點右側，此時＞1，.
∴，.
若點在點左側，此時0＜＜1，.
∴，.
∴當0＜≤1時，的值是常數(shù)2.  ..………………………………6分
當≥1時，的值是常數(shù)2.     ……………………………………7分
【小題3】設平移后的拋物線的解析式為，
由不動點的定義，得方程：，           ………………8分
即.
∵平移后的拋物線只有一個不動點，∴此方程有兩個相等的實數(shù)根.
∴判別式，              .…………………9分
有，.
∴頂點（，）在直線上.      …………………………………10分

解析