Question

已知：α、β是方程2x²+4x+1=0的兩根．
（1）求：3α²+β²+4α+2的值．
（2）求作一個(gè)關(guān)于y的方程，使它的兩根分別是（+）和（α-1）（β-1）．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用一元二次方程的解的定義求得2α²+4α+1=0①；然后根據(jù)韋達(dá)定理求得α+β=-2②，αβ=③；最后將所求的代數(shù)式根據(jù)完全平方公式變形為含有①②③的代數(shù)式，將①②③代入求值即可；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系求得關(guān)于y的方程的兩個(gè)根；然后求該方程的解析式．
解答：解：∵α、β是方程2x²+4x+1=0的兩根，
∴2α²+4α+1=0，
α+β=-2，αβ=．
（1）3α²+β²+4α+2
=（2α²+4α+1）+（α²+β²）+1
=0+（α+β）²-2αβ+1
=4-1+1
=4；

（2）∵（+）²=+2+===8；
（α-1）（β-1）=αβ-（α+β）+1=+2+1=；
∴所求的方程的兩個(gè)根分別是2和；
∴所求的方程可以是（y-2）（y-）=0（答案不唯一）．
點(diǎn)評：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系、一元二次方程的解．將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．