Question

（2012•通州區(qū)一模）已知四邊形ABCD，點(diǎn)E是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與B、C兩點(diǎn)重合），線段BE的垂直平分線交射線AC于點(diǎn)P，連接DP，PE．
（1）若四邊形ABCD是正方形，猜想PD與PE的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（2）若四邊形ABCD是矩形，（1）中的PD與PE的關(guān)系還成立嗎？

不成立

（填：成立或不成立）．
（3）若四邊形ABCD是矩形，AB=6，cos∠ACD=

3

5

，設(shè)AP=x，△PCE的面積為y，當(dāng)AP＞

1

2

AC時(shí)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)①當(dāng)點(diǎn)E在射線BC邊上，且交點(diǎn)P在對(duì)角線AC上時(shí)，②P、C兩點(diǎn)重合時(shí)，③當(dāng)點(diǎn)E在BC邊的延長(zhǎng)線上且點(diǎn)P在對(duì)角線AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，利用三角形的全等判定以及正方形性質(zhì)，可以得出PE⊥PD，PE=PD；
（2）當(dāng)四邊形ABCD是矩形，無(wú)法證明△BAP≌△DAP，故（1）中的猜想不成立．
（3）根據(jù)①當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在線段AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，利用三角形相似得出，分別分析即可得出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）PE=PD，PE⊥PD  
①如圖1，2，當(dāng)點(diǎn)E在射線BC邊上，且交點(diǎn)P在對(duì)角線AC上時(shí)，連接PB
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAP=∠DAP．
在△BAP與△DAP中，
∵

AD=AB ∠DAP=∠BAP AP=AP

，
∴△BAP≌△DAP（SAS）．
∴PB=PD，
∵點(diǎn)P在BE的垂直平分線上，
∴PB=PE，
∴PE=PD，
∵△BAP≌△DAP，
∴∠DPA=∠APB．
又∵∠APB=180°-45°-∠ABP=135°-∠ABP，
∴∠DPA=135°-∠ABP．
又∵PE=PB，
∴∠BPE=180°-2∠PBE，
∴∠DPE=360°-∠DPA-∠APB-∠BPE，
=360°-2（135°-∠ABP）-180°+2∠PBE，
=360°-270°+2∠ABP-180°+2∠PBE，
=90°，
∴PE⊥PD；                          
②如圖3，P、C兩點(diǎn)重合，DC=CE，∠DCE=90°，
則PE=PD，PE⊥PD．
③如圖4，當(dāng)點(diǎn)E在BC邊的延長(zhǎng)線上且點(diǎn)P在對(duì)角線AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，
連接PB，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAP=∠DAP．
在△BAP與△DAP中
∵

AD=AB ∠DAP=∠BAP AP=AP

，
∴△BAP≌△DAP（SAS）．
∴PB=PD，
∴∠PBA=∠PDA，
∴∠PBE=∠PDC，
∵點(diǎn)P在BE的垂直平分線上，
∴PB=PE，
∴∠PBE=∠PEB，
∴∠PDC=∠PEB，
∴∠DFC=∠EFP，
∴∠EPF=∠DCF=90°，
∴PE⊥PD，
故結(jié)論P(yáng)E=PD，PE⊥PD 成立；

（2）當(dāng)四邊形ABCD是矩形，無(wú)法證明△BAP≌△DAP，
故（1）中的猜想不成立．
故答案為：不成立；

（3）①如圖5，當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，
∵四邊形ABCD是矩形，AB=6，
∴DC=AB=6，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∵cos∠ACD=

CD

AC

=

3

5

，
∴AD=8，AC=10，
作PQ⊥BC于點(diǎn)Q，
∴PQ∥AB，
∴

PC

PA

=

CQ

BQ

，
∴

10-x

x

=

8-BQ

BQ

，
∴BQ=

4

5

x，
∴BE=

8

5

x，
∴CE=

8

5

x-8，
∴△CPQ∽△CAB，
∴

PQ

AB

=

CP

CA

，
∴

PQ

6

=

10-x

10

，
∴PQ=6-

3

5

x，
∴y=

1

2

EC×PQ，
=

1

2

（

8

5

x-8）（ 6-

3

5

x），
=-

12

25

x²+

36

5

x-24（5＜x＜10）；
②如圖6，當(dāng)點(diǎn)P在線段AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，
∵PQ∥AB，
∴△CPQ∽△CAB，
∴

PQ

AB

=

PC

AC

，
∴

PQ

6

=

x-10

10

，
∴PQ=

3

5

x-6，
∴

PC

AC

=

CQ

BC

，
∴

x-10

10

=

CQ

8

，
∴CQ=

4

5

x-8，
∴BQ=

4

5

x，
∴BE=

8

5

x，
∴EC=

8

5

x-8，
∴y=

1

2

EC×PQ，
=

1

2

（

8

5

x-8）（

3

5

x-6），
=

12

25

x²-

36

5

x+24（x＞10）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)的判定與性質(zhì)等知識(shí)，此題涉及到分類討論思想，這是數(shù)學(xué)中常用思想同學(xué)們應(yīng)有意識(shí)的應(yīng)用．