Question

在正實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，只存在一個(gè)數(shù)是關(guān)于x的方程

x2+kx+3

x-1

=3x+k的解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：先把原方程化為2x²-3x-（k+3）=0，一定是一個(gè)一元二次方程，在正實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，只存在一個(gè)數(shù)是關(guān)于x的方程的解，因而可能方程有兩個(gè)相同的實(shí)根，求得即可進(jìn)行判斷；或解方程得到的兩個(gè)根中有一個(gè)是方程的增根，即x=1是方程2x²-3x-（k+3）=0的解，即可求得方程的另一解，然后進(jìn)行判斷；或方程有兩個(gè)異號(hào)得實(shí)數(shù)根；或其中一根是0，即可求得方程的另一根，進(jìn)行判斷．因而這個(gè)方程中再分四種情況討論：
（1）當(dāng)△=0時(shí)；
（2）若x=1是方程①的根；
（3）當(dāng)方程①有異號(hào)實(shí)根時(shí)；
（4）當(dāng)方程①有一個(gè)根為0時(shí)，最后結(jié)合題意總結(jié)結(jié)果即可．

解答：解：原方程可化為2x²-3x-（k+3）=0，①
（1）當(dāng)△=0時(shí)，k=-

33

8

，x1=x2=

3

4

滿足條件；
（2）若x=1是方程①的根，得2×1²-3×1-（k+3）=0，k=-4；
此時(shí)方程①的另一個(gè)根為

1

2

，故原方程也只有一根x=

1

2

；
（3）當(dāng)方程①有異號(hào)實(shí)根時(shí)，x1x2=

-k-3

2

＜0，得k＞-3，此時(shí)原方程也只有一個(gè)正實(shí)數(shù)根；
（4）當(dāng)方程①有一個(gè)根為0時(shí)，k=-3，另一個(gè)根為x=

3

2

，此時(shí)原方程也只有一個(gè)正實(shí)根．
綜上所述，滿足條件的k的取值范圍是k=-

33

8

或k=-4或k≥-3．

點(diǎn)評(píng)：主要考查了方程解的定義和分式的運(yùn)算，此類題型的特點(diǎn)要分情況討論．