Question

【題目】先仔細(xì)閱讀下列材料，然后回答問題：

如果a＞0，b＞0，那么(-)2≥0，即a＋b-2≥0　得≥，其中，當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)，我們把稱為a、b的算術(shù)平均數(shù)， 稱為a、b的幾何平均數(shù)．

如果a＞0，b＞0，c＞0，同樣可以得到≥，其中，當(dāng)a＝b＝c時(shí)取等號(hào)于是就有定理：幾個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．請(qǐng)用上述定理解答問題：把邊長(zhǎng)為30 cm的正方形紙片的4角各剪去一個(gè)小正方形，折成無蓋紙盒(如圖)

(1)設(shè)剪去的小正方形邊長(zhǎng)為x cm，無蓋紙盒的容積為V，求V與x的函數(shù)關(guān)系式及x的取值范圍．

(2)當(dāng)x為何值時(shí)，容積V有最大值，最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）V＝4x(15-x)2(0＜x＜15)；（2）當(dāng)剪去的小正方形邊長(zhǎng)為5 cm時(shí)，無蓋空盒的容積最大為2×103 cm3

【解析】

（1）由剪去的小正方形邊長(zhǎng)為x cm，表示紙盒的底邊與高，利用容積公式得到答案，

（2）利用≥，把含有自變量的代數(shù)式變形為符合定理的特點(diǎn)得到容積的最大值．

解：(1) 設(shè)剪去的小正方形邊長(zhǎng)為x cm，

紙盒底邊為紙盒的高是

V＝x(30-2x)(30-2x)＝4x(15-x)2(0＜x＜15)，

(2) V＝

這時(shí)，當(dāng)2x＝15-x，即x＝5時(shí)取等號(hào)．

∴　當(dāng)剪去的小正方形邊長(zhǎng)為5 cm時(shí)，無蓋空盒的容積最大為2×103 cm3