Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分線交BC于點E，DH⊥AE于點H，連接BH并延長交CD于點F，連接DE交BF于點O，下列結論：①△ABE≌△AHD；②HE＝CE；③H是BF的中點；④AB＝HF；其中正確命題的個數(shù)為__________個．

Answer 1

【答案】3

【解析】

根據(jù)題意，可知，ABE與AHD是等腰直角三角形，進而可得，AH=AB，AD=AE，根據(jù)三角形全等的判定方法，可證△ABE≌△AHD，①正確；根據(jù)矩形，等腰直角三角形和全等三角形的性質，可知，DH=AH=AB=BE，AD=AE=BC，進而，可得HE=CE，②正確；

根據(jù)等腰三角形的性質和三角形內角和定理，可得∠EBH=∠OHD=22.5°，進而可證明BEHHDF，即即H是BF的中點，③正確；由AB=AH，∠BAE=45°，可知，ABH不是等邊三角形，進而可知，④錯誤.

∵在矩形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點E，DH⊥AE于點H，

∴∠BAE=∠HAD=45°，∠ABE=∠AHD=90°，

∴ABE與AHD是等腰直角三角形，

∴AD＝AH，AE＝AB，

∵AD＝AB，

∴AH=AB，AD=AE，

在ABE與AHD中，

∵

∴△ABE≌△AHD（SAS），故①正確；

∵在矩形ABCD中，ABE與AHD是等腰直角三角形，△ABE≌△AHD，

∴DH=AH=AB=BE，AD=AE=BC

∴AE-AH=BC-BE ，

∴HE=CE，故②正確；

∵AB=AH，

∴，

∴∠OHE=∠AHB=67.5°，

∴∠DHO=90°-67.5°=22.5°，

∵∠EBH=90°-67.5°=22.5°，

∴∠EBH=∠OHD，

在BEH和HDF中

∴BEHHDF（ASA），

∴BH=HF，

即H是BF的中點，故③正確；

∵AB=AH，∠BAE=45°，

∴ABH不是等邊三角形，

∴AB≠BH，

∴AB≠HF，故④錯誤，

綜上所述，正確命題有3個，

故答案是：3